対称群と純粋ブレイド群の関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/29 09:27 UTC 版)
「ブレイド群」の記事における「対称群と純粋ブレイド群の関係」の解説
糸がどのように捩れたり交差したりしているかを忘れると、n 本の糸のブレイドは n 個の元の置換を決める。この対応関係は上への写像であり、合成と整合する。従って、ブレイド群から対称群への全射群準同型 Bn → Sn が存在する。ブレイド σi ∈ Bn の像は、移動 si = (i, i+1) ∈ Sn である。これらの移動は対称群を生成し、位数 2 のブレイド群の関係式を満たす。この写像は対称群のコクセター群の中へのブレイド群のアルティン表示を変換する。 S n = ⟨ s 1 , … , s n − 1 | s i s i + 1 s i = s i + 1 s i s i + 1 , s i s j = s j s i for | i − j | ≥ 2 , s i 2 = 1 ⟩ . {\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .} 準同型 Bn → Sn の核は、Bn の部分群であり、n 本の糸の純粋ブレイド群と呼ばれ、Pn と書く。純粋ブレイドは、各々の糸の起点と終点が同様の位置にある。純粋ブレイド群は、短完全系列に適合する。 1 → F n − 1 → P n → P n − 1 → 1. {\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.} この系列は分裂し、従って純粋ブレイド群は自由群の半直積を繰り返し取ることとして実現される。
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