対称群の表現論

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対称群の表現論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:42 UTC 版)

「対称群」の記事における「対称群の表現論」の解説

詳細は「対称群の表現論（英語版）」を参照 対称群の表現論は有限群の表現論の特別な場合であり、具体的かつ詳細な理論が展開される。その応用は広く、対称函数の理論から、同種粒子に対する量子力学まで利用される。 対称群 Sn の位数は n! である。共軛類は n の分割でラベル付けられるから、有限群の表現論に従えば、複素数体上の互いに同値でない既約表現の総数は n の分割の総数に等しい。有限群の一般的な状況とは異なり、実は共軛類をパラメータ付けするのと同じ集合（つまり n の分割やサイズが n のヤング図形）で既約表現をパラメータ付けする自然な方法が対称群の場合には存在する。 そのような既約表現はどれも整数全体の集合上で実現することができる（任意の置換が成分が整数の行列として作用する）。これはヤング図形によって形の与えられるヤング盤の全体で生成される空間へのヤング対称化子（英語版）を計算することによって明示的に構成できる。 複素数体をもっとほかの体に変更すれば、状況はもっと複雑になる。体 K の標数が 0 か n よりも大ならば、マシュケの定理により群環 KSn は半単純であり、この場合整数環上定義された既約表現は（必要ならばその標数を法とする還元を行って）既約表現の完全集合を与える。 しかしそれ以外の任意の標数における対称群の既約表現については知られていない。この文脈では表現の言葉よりも加群の言葉を用いるほうが普通であるが、整数環上定義された既約表現に標数を法とした還元を行って得られる表現は一般には既約でない。こうして得られる加群はシュペヒト加群（英語版）と呼ばれ、任意の既約表現はそれらの加群の中から得られる。いまのところそのような既約加群はあまり知られておらず、それらの分類についてもたいした理解は得られていない。例えば、その次元なども一般にはわかっていない。 任意の体上で対称群の既約加群を決定することは、表現論における重要な未解決問題のひとつであると広くみなされている。