ヤング図形
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数学において、ヤング盤（ヤングばん、英: Young tableau） および ヤング図形（ヤングずけい、英: Young diagram）とは、表現論で使われる組合せ論的図式である。これは、対称群の群表現を記述しその性質を調べるのに便利である。
ヤング盤は、ケンブリッジ大学の英国人牧師・数学者アルフレッド・ヤング (Alfred Young, 1873-1940) により 1900年に導入された。その理論は、アルフレッド・ヤング自身およびアラン・ラスクー (Alain Lascoux)、パーシー・マクマホン (Percy Alexander MacMahon)、ギルバート・ロビンソン (Gilbert de Beauregard Robinson)、ジァン・カルロ・ロータ (Gian-Carlo Rota)、マルセル・ポール・シュッツェンベルジェ（Marcel-Paul Schützenberger）、リチャード・スタンレー（Richard P. Stanley）その他の数学者により、さらに発展した。
定義
ヤング図形
ヤング図形あるいはフェラーズ図形（フェラーズずけい、英: Ferrers diagram）とは、数 n の分割を表現する方法である。n を正整数とする。分割とは、n をいくつかの正整数の和として
- n = k1 + k2 + … + km
- k1 ≧ k2 ≧ … ≧ km
と表すことである。この分割は i 行目は ki 個の箱をもつ m 行からなる合計 n 個の箱により表現できる。これをヤング図形という。ここで、各行は左寄せにする。
この分割を k = (k1, k2, …, km) とする。このとき、k に共役な分割（英: partition conjugate to k）とは、各列の箱の数からなる n の分割のことをいう。つまり、各ヤング図形に対し、対角線に沿って縦横を反転した共役ヤング図形が存在する。
右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形である。この共役分割は、 10 = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 である。
ヤング盤
ヤング盤は、ヤング図形を1つ取り、同図形の n 個の箱に 1, 2, …, n の数を、以下の制約に基づいて埋めることによって得られる。
- 各行で、数は左から右に増加する。
- 各列で、数は上から下に増加する。
各数が1つの箱に必ず1回きり現れるとき、その盤を標準盤（英: standard tableau）という。右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応する標準盤の一つである。
半標準盤（英: semi-standard tableaux）は、この変種で、全ての数が盤に現れる必要はない代わりに、ある数が複数個の箱に現れうるものである。半標準盤では、上の最初の制約が、以下のように弱められる。
- 各行で、数は左から右に非減少である。
半標準盤は、1, 2, …, t のどの数も持ちうる。ここで一般に、t は特定されている。この集合 1, 2, …, t から全ての数が半標準盤に現れる必要はなく、またある数は複数回現れても良い。数は列の中では増加しなければならないので、半標準盤が存在するためには、t ≧ m が必要である。
表現論における応用
ヤング図形は、対称群の複素数体上の既約表現と一対一対応をもつ[1]。これは、既約表現を構成するヤング対称子（英: Young symmetriser）を特定するのに便利である。対応するヤング図形から、表現に関する多くの事実を推論することができる。以下に、表現の次元を決定する例と、表現の制限の例の2つを記述する。両方の例において、そのヤング図形を使うだけで、表現のある性質を決定できることを見る。
表現の次元
分割 λ に対応する既約表現 πλ の次元は、その表現のヤング図形から得られる異なるヤング盤の数に等しい。この数は、フック長の公式から計算できる。
ヤング図形 λ の中のある箱 x のフック長（英: hook length） hook(x) とは、同一行の右にある箱の数と同一列の下にある箱の数の和に 1 （その箱自身）を加えた数である。フック長の公式によると、既約表現 πλ の次元は、n! を、同表現のヤング図形の全箱のフック長の積で割った数に等しい。
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この節の加筆が望まれています。ヤング盤は、対称群の任意の体の上の表現を構成し、その構造を研究することもできる。 正標数の場合には、これらの表現は既約とは限らない[2]。
脚注
- ^ Sagan 2001, Theorem 2.4.6.
- ^ (Sagan 2001)のTheorem 2.4.6の後にある注意を見よ。
参考文献
- Fulton, W. (1997). Young tableaux. London Mathematical Society Student Texts. 35. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56144-2. MR 1464693. Zbl 0878.14034
- Sagan, B. E. (2001). The symmetric group : representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-95067-2. Zbl 0964.05070
関連図書
将来追加予定
- 寺田至：「ヤング図形のはなし」、日本評論社、ISBN 978-4-535-60135-2 (2002年8月).
- 洞彰人：「対称群の表現とヤング図形集団の解析学」、数学書房、ISBN 978-4-90334254-2（2017年4月25日).
- W. フルトン：「ヤング・タブロー: 表現論と幾何への応用」、丸善出版、ISBN 978-4-62130389-4 (2019年6月17日).
- 岩尾慎介：「ヤング盤の組合せ論：非可換シューア関数入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-11585-9 (2025年7月3日).
関連項目
外部リンク
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ヤング盤
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ヤング盤は、ヤング図形を1つ取り、同図形の n 個の箱に 1, 2, …, n の数を、以下の制約に基づいて埋めることによって得られる。 各行で、数は左から右に増加する。 各列で、数は上から下に増加する。 各数が1つの箱に必ず1回きり現れるとき、その盤を標準盤（英: standard tableau）という。右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応する標準盤のひとつである。 半標準盤（英: semi-standard tableaux）は、この変種で、全ての数が盤に現れる必要はない代わりに、ある数が複数個の箱に現れうるものである。半標準盤では、上の最初の制約が、以下のように弱められる。 各行で、数は左から右に非減少である。 半標準盤は、1, 2, …, t のどの数も持ちうる。ここで一般に、t は特定されている。この集合 1, 2, …, t から全ての数が半標準盤に現れる必要はなく、またある数は複数回現れても良い。数は列の中では増加しなければならないので、半標準盤が存在するためには、t ≧ m が必要である。
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