ヤング図形とは？わかりやすく解説

数学において、ヤング盤（ヤングばん、英: Young tableau）および ヤング図形（ヤングずけい、英: Young diagram）とは、表現論で使われる組合せ論的図式である。これは、対称群の群表現を記述しその性質を調べるのに便利である。

ヤング盤は、ケンブリッジ大学の英国人牧師・数学者アルフレッド・ヤング (Alfred Young, 1873-1940) により 1900年に導入された。その理論は、アルフレッド・ヤング自身およびアラン・ラスクー (Alain Lascoux)、パーシー・マクマホン (Percy Alexander MacMahon)、ギルバート・ロビンソン (Gilbert de Beauregard Robinson)、ジァン・カルロ・ロータ (Gian-Carlo Rota)、マルセル・ポール・シュッツェンベルジェ（Marcel-Paul Schützenberger）、リチャード・スタンレー（Richard P. Stanley）その他の数学者により、さらに発展した。

定義

ヤング図形

ヤング図形あるいはフェラーズ図形（フェラーズずけい、英: Ferrers diagram）とは、数 $n$ の分割を表現する方法である。 $n$ を正整数とする。分割とは、 $n$ をいくつかの正整数の和として

n = k 1 + k 2 + \dots + k m

k 1 ≧ k 2 ≧ \dots ≧ k m

と表すことである。この分割は $i$ 行目は $k i$ 個の箱をもつ $m$ 行からなる合計 $n$ 個の箱により表現できる。これをヤング図形という。ここで、各行は左寄せにする。

この分割を $k = (k 1, k 2, \dots, k m)$ とする。このとき、 $k$ に共役な分割（英: partition conjugate to $k$ ）とは、各列の箱の数からなる $n$ の分割のことをいう。つまり、各ヤング図形に対し、対角線に沿って縦横を反転した共役ヤング図形が存在する。

右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形である。この共役分割は、 10 = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 である。

ヤング盤

ヤング盤は、ヤング図形を1つ取り、同図形の n 個の箱に 1, 2, …, n の数を、以下の制約に基づいて埋めることによって得られる。

各行で、数は左から右に増加する。
各列で、数は上から下に増加する。

各数が1つの箱に必ず1回きり現れるとき、その盤を標準盤（英: standard tableau）という。右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応する標準盤の一つである。

半標準盤（英: semi-standard tableaux）は、この変種で、全ての数が盤に現れる必要はない代わりに、ある数が複数個の箱に現れうるものである。半標準盤では、上の最初の制約が、以下のように弱められる。

各行で、数は左から右に非減少である。

半標準盤は、1, 2, …, t のどの数も持ちうる。ここで一般に、t は特定されている。この集合 1, 2, …, t から全ての数が半標準盤に現れる必要はなく、またある数は複数回現れても良い。数は列の中では増加しなければならないので、半標準盤が存在するためには、t ≧ m が必要である。

表現論における応用

ヤング図形は、対称群の複素数体上の既約表現と一対一対応をもつ^[1]。これは、既約表現を構成するヤング対称子（英: Young symmetriser）を特定するのに便利である。対応するヤング図形から、表現に関する多くの事実を推論することができる。以下に、表現の次元を決定する例と、表現の制限の例の2つを記述する。両方の例において、そのヤング図形を使うだけで、表現のある性質を決定できることを見る。

表現の次元

分割 $λ$ に対応する既約表現 $π λ$ の次元は、その表現のヤング図形から得られる異なるヤング盤の数に等しい。この数は、フック長の公式から計算できる。

ヤング図形 $λ$ の中のある箱 $x$ のフック長（英: hook length） $hook(x)$ とは、同一行の右にある箱の数と同一列の下にある箱の数の和に 1 （その箱自身）を加えた数である。フック長の公式によると、既約表現 $π λ$ の次元は、 $n!$ を、同表現のヤング図形の全箱のフック長の積で割った数に等しい。

\dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod \limits _{x\in \lambda }\operatorname {hook} (x)}}

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主に: Specht moduleの構成（2015年10月）

ヤング盤は、対称群の任意の体の上の表現を構成し、その構造を研究することもできる。正標数の場合には、これらの表現は既約とは限らない^[2]。

脚注

^ Sagan 2001, Theorem 2.4.6.
^ (Sagan 2001)のTheorem 2.4.6の後にある注意を見よ。

参考文献

Fulton, W. (1997). Young tableaux. London Mathematical Society Student Texts. 35. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56144-2. MR 1464693. Zbl 0878.14034
Sagan, B. E. (2001). The symmetric group : representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-95067-2. Zbl 0964.05070

外部リンク

『分割数の意味と性質・ヤング図形の活躍』 - 高校数学の美しい物語

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[FOOTNOTESagan2001Theorem_2.4.6-1] Sagan 2001, Theorem 2.4.6.

[2] (Sagan 2001)のTheorem 2.4.6の後にある注意を見よ。

[1]

[2]

ヤング図形とは？わかりやすく解説