表現の次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 15:35 UTC 版)
分割 λ に対応する既約表現 πλ の次元は、その表現のヤング図形から得られる異なるヤング盤の数に等しい。この数は、フック長の公式から計算できる。 ヤング図形 λ の中のある箱 x のフック長（英: hook length） hook(x) とは、同一行の右にある箱の数と同一列の下にある箱の数の和に 1 （その箱自身）を加えた数である。フック長の公式によると、既約表現 πλ の次元は、n! を、同表現のヤング図形の全箱のフック長の積で割った数に等しい。 dim π λ = n ! ∏ x ∈ λ hook ( x ) {\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in \lambda }\operatorname {hook} (x)}}} 右上図では、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形の全箱のフック長を、各箱内に記している。これにより、 dim π λ = 10 ! 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 288 {\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot 7}}=288} である。
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