表現論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/05 06:55 UTC 版)
シューア多項式は、対称群の表現論や一般線形群・ユニタリ群の表現論に現れる。ワイルの指標公式は、シューア多項式が、一般線形群の有限次元既約表現の指標に他ならないことを意味しており、シューアの結果を他の半単純コンパクトリー群へ拡張したものと言える。 この関係を表す式はいろいろあるが、最も重要なもののひとつは、シューア多項式 s λ {\displaystyle s_{\lambda }} をべき和対称式 p k = ∑ i x i k {\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}} で展開する式である。 χ ρ λ {\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }} を、分割 λ {\displaystyle \lambda } に対応する対称群の既約表現の指標に対する、巡回置換型が分割 ρ {\displaystyle \rho } であるような共役類での値とする。このとき s λ = ∑ ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) χ ρ λ ∏ k p k r k r k ! , {\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},} が成り立つ。ここで、 ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) {\displaystyle \rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )} とは、分割 ρ {\displaystyle \rho } に r k {\displaystyle r_{k}} 個の k {\displaystyle k} が含まれていることを意味している。
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表現論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:37 UTC 版)
M を左 R-加群とすると、R の元 r の作用が x を rx へ（右加群の場合は xr へ）うつす写像として定まり、その写像はアーベル群 (M, +) 上の群の自己準同型となる必要がある。EndZ(M) で表される、M の群自己準同型の全体は、加法と合成に関して環となるが、R の元 r にその作用を対応させることにより、R から EndZ(M) への環準同型が定義される。 このような環準同型 R → EndZ(M) は M における R の表現 (representation) と呼ばれる。左 R-加群を定義するもう一つの同値な方法は、アーベル群 M にその上の環 R の表現を考えることである。 表現が忠実 (faithful) であるとは、写像 R → EndZ(M) が単射となることをいう。加群の言葉で言えば、これは R の元 r が M のすべての元 x に対して rx = 0 を満たすならば r = 0 と成ることを言っている。任意のアーベル群は有理整数環または適当な剰余類環 Z/nZ 上の忠実加群である。
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