対称群の自己同型群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:42 UTC 版)
n自己同型群外部自己同型群中心n ≠ 2, 6Sn 1 1 n = 21 1 S2 n = 6 S 6 ⋊ C 2 {\displaystyle S_{6}\rtimes C_{2}} C2 1 n ≠ 2, 6 のとき Sn は完全群（英語版）（中心と外部自己同型群（英語版）が両方とも自明）である。 n = 2 のとき、自己同型群は自明だが S2 自身は自明でない（巡回群 C2 に同型で、これはアーベル群だから、中心は S2 全体）。 n = 6 のときは位数 2 の外部自己同型をもち、自己同型群は S6 の C2 による半直積となる。 Out ( S 6 ) = C 2 , Aut ( S 6 ) = S 6 ⋊ C 2 . {\displaystyle \operatorname {Out} (S_{6})=C_{2},\quad \operatorname {Aut} (S_{6})=S_{6}\rtimes C_{2}.} 実は、6 以外の濃度の任意の集合 X に対して、X 上の対称群の任意の自己同型は内部自己同型である。(Dixon & Mortimer 1996, p. 259) によれば、この結果をはじめて得たのは (Schreier & Ulam 1937) である。
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