デカルト冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/14 00:51 UTC 版)
詳細は「デカルト積」を参照 自然数 n と任意の集合 A に対して、式 An はしばしば A の元からなる順序 n-組全体の成す集合を表すのに用いられる。これは An は集合 {0, 1, 2, …, n−1} から集合 A への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（n-組 (a0, a1, a2, …, an−1) は i を ai へ送る写像を表す）。 無限基数 κ と集合 A に対しても、記号 Aκ は濃度 κ の集合から A への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために κA と書くこともある。
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デカルト冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:27 UTC 版)
集合 A に対し、それ自身の（任意個の）直積として得られる集合 A × A , A 2 := A × A , … {\displaystyle A\times A,\,A^{2}:=A\times A,\,\ldots } を得る演算を A のデカルト冪 (Cartesian exponentation) と呼ぶ。非負整数 n に対して n-乗デカルト冪 (nth Cartesian power) は A n := ∏ i = 1 n A = A × A × ⋯ × A ⏞ n = { ( a 1 , a 2 , … , a n ) ∣ a i ∈ A , ∀ i = 1 , … , n } {\displaystyle A^{n}:=\prod _{i=1}^{n}A=\overbrace {A\times A\times \cdots \times A} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in A,\,\forall i=1,\ldots ,n\}} で与えられる。一般の添字集合 Λ に対して A Λ := ∏ λ ∈ Λ A = { ( a λ ) λ ∈ Λ ∣ a λ ∈ A } = Map ( Λ , A ) {\displaystyle A^{\Lambda }:=\prod _{\lambda \in \Lambda }A=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in A\}=\operatorname {Map} (\Lambda ,A)} は Λ から A への写像全体の成す集合に他ならない。 集合 ℝ を実数全体の作る実数直線とすれば、デカルト冪の例としてデカルト座標平面（ドイツ語版） ℝ2 = ℝ×ℝ, 三次元デカルト座標空間 ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ, 一般に n-次元実座標空間 ℝn を挙げることができる。あるいは実数列の全体も自然数の全体 ℕ（最小の超限順序数 ω）で添字付けられた無限デカルト冪 ℝω = ℝ × ℝ × ⋯ である。
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