デカルトの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/26 06:49 UTC 版)
デカルトの定理
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デカルトの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/15 22:52 UTC 版)
不足角におけるデカルトの定理（英: Descartes' theorem on total angular defect）とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（ 4 π {\displaystyle 4\pi } ）に等しいという定理である（上表も参照）。 より一般には、多面体のオイラー標数 χ = 2 − 2 g {\displaystyle \chi =2-2g} （ここで g は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は 2 π χ {\displaystyle 2\pi \chi } で表される。 これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。
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