デカルトの円定理

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デカルトの円定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/13 15:46 UTC 版)

幾何学におけるデカルトの円定理（デカルトのえんていり、Descartes' theorem）とは、互いに接する4つの円の半径はある二次方程式を満たす、という主張である。1642年にこれを発表したルネ・デカルトに因む。

歴史

互いに接する円の問題に対する関心は古く、紀元前三世紀のギリシャ人であるペルガのアポロニウスが多くの論述を残している。

1643年、ルネ・デカルトはプファルツ公女エリーザベトへの手紙の中でこの問題を詳細に研究し、後述する式(1)と本質的に同じ結果を得た。

フレデリック・ソディが1936年に式(1)を再発見し Nature に発表した^[1]ため、この問題で扱われる4つの円はソディの円（英: Soddy circles）と呼ばれる。フレデリック・ソディはこの問題を球へと拡張し、さらにソロルド・ゴセは任意の次元へと拡張した。

主張

互いに接する3つの円（黒）の全てに接する円は2つ存在する（赤）

半径 r の円の曲率 k を ${\displaystyle k=\pm {\frac {1}{r}}}$

一点で接する3つの円

3つの円が同じ点で接している場合、デカルトの定理は適用できない。

直線が存在する場合

直線が存在してもデカルトの定理は適用可能である

円の1つが直線の場合

直線では k = 0 だから、式(2)より ${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}$