曲率が平方数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 02:31 UTC 版)
「デカルトの円定理」の記事における「曲率が平方数の場合」の解説
曲率が全て平方数だった場合を考える。このとき式(2)は ( v 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2 ( v 4 + x 4 + y 4 + z 4 ) {\displaystyle (v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})} (3) と表せる。オイラーは v, x, y, z の組み合わせがピタゴラスの三つ組になっていることを示した。 ( 2 v x ) 2 + ( 2 y z ) 2 = ( v 2 + x 2 − y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vx)^{2}+(2yz)^{2}=(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}} ( 2 v y ) 2 + ( 2 x z ) 2 = ( v 2 − x 2 + y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vy)^{2}+(2xz)^{2}=(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}} ( 2 v z ) 2 + ( 2 x y ) 2 = ( v 2 − x 2 − y 2 + z 2 ) 2 {\displaystyle (2vz)^{2}+(2xy)^{2}=(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}} 今 k1 が負であったとすると ( − v 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2 ( v 4 + x 4 + y 4 + z 4 ) {\displaystyle (-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})} の解は媒介変数表示できて [ v , x , y , z ] = [ 2 ( a b − c d ) ( a b + c d ) , ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ( a 2 − b 2 + c 2 − d 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( a 2 + c 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( b 2 + d 2 ) ] {\displaystyle [v,x,y,z]=[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac-bd)(b^{2}+d^{2})]} となる。ここで a, b, c, d は以下の恒等式を満たすものである。 a 4 + b 4 = c 4 + d 4 {\displaystyle a^{4}+b^{4}=c^{4}+d^{4}} 特に v + x = y ∧ z ≠ 0 {\displaystyle v+x=y\land z\neq 0} のとき式(3)は 4 ( x 2 + v x + v 2 ) = z 2 {\displaystyle 4(x^{2}+vx+v^{2})=z^{2}} と二元二次不定方程式の形になり、やはり解の形を書き下せる。
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