デカルトチャートとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:05 UTC 版)
「リンドラー座標」の記事における「デカルトチャートとの関係」の解説
リンドラーチャートを得るには、まず下の計量を持つデカルトチャート（慣性系）から始める（ただし、c=1 とする）。 d s 2 = − d T 2 + d X 2 + d Y 2 + d Z 2 , ∀ T , X , Y , Z {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}+\mathrm {d} Y^{2}+\mathrm {d} Z^{2},\;^{\forall }T,X,Y,Z} 0 < X < ∞ , − X < T < X {\displaystyle \scriptstyle 0\,<\,X\,<\,\infty ,\;-X\,<\,T\,<\,X} の領域はよく「リンドラーのくさび」と呼ばれ、この領域では、固有時間がリンドラー座標時（後述）と同じに定義されたリンドラー観測者の（x=1 の双曲線に沿った）固有加速度を g とおくと、下の座標変換により新たなチャートが得られる。 t = 1 g arctanh ( T X ) , x = X 2 − T 2 , y = Y , z = Z {\displaystyle t={\frac {1}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\;x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\;y=Y,\;z=Z} 逆変換は次のとおりになる。 T = x sinh ( g t ) , X = x cosh ( g t ) , Y = y , Z = z {\displaystyle T=x\,\sinh(gt),\;X=x\,\cosh(gt),\;Y=y,\;Z=z} リンドラーチャートでは、ミンコフスキー線素（英語版）は次のとおりに書ける。 d s 2 = − g 2 x 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 , ∀ x > 0 , ∀ t , y , z {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-g^{2}x^{2}\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2},\;^{\forall }x>0,^{\forall }t,y,z} 「リンドラー観測者」はリンドラー座標系において「静止」している、つまり x, y, z を一定に保ち、時間とともに t だけが変化する観測者として定義することができる。この世界線に留まるためには、観測者は一定の固有加速度（英語版）で加速する必要があり、x=0 （リンドラー地平面）に近い観測者ほどより大きな固有加速度を持つ。すべてのリンドラー観測者は慣性系上において時刻 T=0 の瞬間には静止しており、この時刻には固有加速度 gi の観測者は X = 1/gi （実際には X = c2/gi だが、c=1 の単位を使うものとする）の位置にあり、それぞれリンドラー座標系上ではリンドラー地平面から等距離を保つ。すべてのリンドラー観測者が各々の時計を T=0 でゼロにあわせたとすると、リンドラー座標系の定義時に、どのリンドラー観測者の固有時をリンドラー座標系の座標時 t として採用するかを選ぶ余地がある。そして、選んだ観測者の固有加速度が前述の g の値となる（リンドラー地平面からの距離が違う、その他のリンドラー観測者の固有時と、リンドラー座標時との関係は定数倍となる）。広く行われている慣習として、リンドラー座標系は固有加速度 g=1 のリンドラー観測者の固有時を座標時として採用する。その場合、上式の g は消去される。 上式 t = 1 g arctanh ( T X ) , x = X 2 − T 2 , y = Y , z = Z {\displaystyle t={\frac {1}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\;x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\;y=Y,\;z=Z} は c=1 の単純化を行ってある。単純化を受けていない下式のほうが、加速度を g としたときのリンドラー地平面までの距離を出すためには便利である。 t = c g arctanh ( c T X ) ≈ X ≫ c T c 2 T g X X ≈ c 2 T g t ≈ T ≈ t c 2 g {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {c}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{gX}}\\X&\approx {\frac {c^{2}T}{gt}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{g}}\end{aligned}}} この項のこれより下では、 g=1 および c=1 と置くこととし、 X および x の単位は c^2/g = 1 となるように置くこととする。g=1 光秒/(秒2) と置くのと g=1 光年/(年2) とするのとでは全く異ることに注意されたい。c=1 とすることを決めても、固有加速度 g の大きさを表わす単位には選択の余地がある。例えば、長さ (X および x) の単位として光年を使うものとすれば、時間 (T および t) の単位は年となり、g = 1 光年/(年2) となり、これは約9.5 メートル/(秒2) に等しいが、長さ (X および x) の単位として光秒を使うものとすれば、時間 (T および t) の単位は秒となり g = 1 光秒/(秒2)、すなわち 299792458 メートル/(秒2) に等しくなる。
※この「デカルトチャートとの関係」の解説は、「リンドラー座標」の解説の一部です。
「デカルトチャートとの関係」を含む「リンドラー座標」の記事については、「リンドラー座標」の概要を参照ください。
- デカルトチャートとの関係のページへのリンク
