リンドラー観測者
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:05 UTC 版)
新しいチャートでは、次の余標構場[訳語疑問点]をとるのが自然である。 d σ 0 = − x d t , d σ 1 = d x , d σ 2 = d y , d σ 3 = d z {\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{0}=-x\,\mathrm {d} t,\;\;d\sigma ^{1}=\mathrm {d} x,\;\;\mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} y,\;\;\mathrm {d} \sigma ^{3}=\mathrm {d} z} この双対標構場（英語版）[訳語疑問点]は以下のようになる。 e → 0 = 1 x ∂ t , e → 1 = ∂ x , e → 2 = ∂ y , e → 3 = ∂ z {\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\partial _{t},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{x},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\;\;{\vec {e}}_{3}=\partial _{z}} これにより、（リンドラー座標系が覆う領域、つまりリンドラーのくさび上の）各世界点における接空間上に、「局所ローレンツ基準系」が定義される。時間的ベクトル場 e → 0 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{0}} の積分曲線は、リンドラー観測者と呼ばれる一連の観測者の世界線からなる時間的合同（英語版）[訳語疑問点]を与える。リンドラーチャート上では、これらの世界線は x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 {\displaystyle \scriptstyle x\;=\;x_{0},\;y\;=\;y_{0},\;z\;=\;z_{0}} を表わす縦座標のようにみえる。上述の座標変換により、これらがもとのデカルトチャートでは双曲線に対応することがわかる。 いくつかのリンドラー観測者（紺の双曲線）をデカルトチャート上に描いたもの。45°の赤線はリンドラー地平面を表わす。リンドラー座標系は赤線よりも右にのみ定義される。 ローレンツ多様体上の一般の時間的合同と同様、この合同にも kinematic decomposition[訳語疑問点] が存在する（レイチャウデューリ方程式を参照）。この場合、リンドラー観測者の合同の「膨張」と「渦度」は消える。膨張テンソルの消失は、「各観測者が隣の観測者と一定の距離を保つ」ということを意味する。渦度テンソルの消失は、各観測者の世界線が他の観測者の世界線に巻き付いたりしないということを意味する。これは局所的には「渦」が存在しないということである。 各観測者の加速ベクトル（英語版）は共変微分を用いて以下のように得られる。 ∇ e → 0 e → 0 = 1 x e → 1 {\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}} つまり、各リンドラー観測者は ∂ x {\displaystyle \scriptstyle \partial _{x}} 方向に加速をしている。それぞれを見れば、各観測者は「一定の大きさの」加速度でこの方向に加速しており、その世界線は一定の曲率をもつため、ユークリッド幾何でいう円のローレンツ的な相似物になる。 リンドラー観測者は「渦無し」であるため、「超曲面直交」[訳語疑問点] となる。直交超曲面断片は t = t 0 {\displaystyle \scriptstyle t\;=\;t_{0}} である。これらはリンドラーチャート上には水平な半平面として現われ、デカルトチャート上には T = X = 0 {\displaystyle \scriptstyle T\;=\;X\;=\;0} を通る半平面として現われる（上図参照）。dt = 0 の線素については、通常のユークリッド幾何 dσ2 = dx2 + dy2 + dz2; ∀x > 0, ∀y, z が満たされることがわかる。したがって、リンドラーチャートの空間座標はリンドラー観測者が相互に静止しているということをとても単純に反映していると言える。この、リンドラー観測者の剛体性については後述する。
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