フェルマー計量とは? わかりやすく解説

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フェルマー計量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/14 15:05 UTC 版)

リンドラー座標」の記事における「フェルマー計量」の解説

リンドラーチャート上では、任意の空間的断面上に投影したヌル測地線単純に半円状の弧になることは、上に示した一般解から直接確かめることができるが、これを示す非常に単純な方法がある。静的時空英語版)とは、渦なしの時間的キリングベクトル場存在する時空である。このとき、(慣性運動しているとは限らない対応する定常観測者直交する一連の同一空間的断面一意定義することができる。このことから、これら任意の断面上に、時空から受け継いだ元の計量に共形に関連付けられる新し計量を、その計量(これは三次元リーマン多様体上のリーマン計量であることに注意)の測地線時空ヌル測地線投影正に一致するような性質を持つように定義することができる。この新し計量は「フェルマー計量」と呼ばれ、線素が d s 2 = g 00 d t 2 + g j k d x j d x k , j , k ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{00}\,\mathrm {d} t^{2}+g_{jk}\,\mathrm {d} x^{j}\,\mathrm {d} x^{k},\;\;j,\;k\in \{1,2,3\}} で与えられるような座標系付与されている定常時空では、 t = 0 におけるフェルマー計量は単純に d ρ 2 = 1 − g 00 ( g j k d x j d x k ) {\displaystyle \mathrm {d} \rho ^{2}={\frac {1}{-g_{00}}}\left(g_{jk}\,\mathrm {d} x^{j}\,\mathrm {d} x^{k}\right)} となる(ここで、計量係数t = 0評価されものとする)。 リンドラーチャートでは、時間的並進 ∂t が上述時間的キリングベクトルであるから、これは定常時空である(これはミンコフスキー時空アインシュタイン方程式自明な静的真空解であることからも驚くべきことではない)。したがってリンドラー観測者のフェルマー計量は直ちに以下のように書ける。 d ρ 2 = 1 x 2 ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) , ∀ x > 0 , ∀ y , z {\displaystyle \mathrm {d} \rho ^{2}={\frac {1}{x^{2}}}\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}\right),\;\;^{\forall }x>0,\;\;^{\forall }y,z} しかし、これはよく知られた「三次元双曲空間」 H3 の上半空チャートにおける線素である。これは、複素解析学生代々共形写像問題」(とその他多く問題)に関連して習わされる、よく知られた双曲平面 H2 の上半平チャートにごく似ており、多く数学関心のある読者にとっては H2 の測地線が単に(実軸で表わされる無限大中心とする円に直交する半円になることは既知であろう

※この「フェルマー計量」の解説は、「リンドラー座標」の解説の一部です。
「フェルマー計量」を含む「リンドラー座標」の記事については、「リンドラー座標」の概要を参照ください。

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