フェルマー素数とは? わかりやすく解説

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フェルマー素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 22:34 UTC 版)

フェルマー数」の記事における「フェルマー素数」の解説

素数であるフェルマー数をフェルマー素数という。具体的には、既知範囲において次の5つがある: 3, 5, 17, 257, 65537 (オンライン整数列大辞典数列 A019434) F4 までは素数なので、フェルマーは、全てのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、5番目のフェルマー数次のように分解できることを 1732年オイラー示し反例与えられた。 F5 = 225 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 オイラーは、フェルマー数 Fn因数は k·2n+1 + 1 の形となることを証明した。これにより n = 5 の場合には、F5 の因数は 64k + 1 の形をとる。このことを利用してオイラー因数 641 = 10 × 64 + 1見つけたのである実際に上記フェルマー数の素因数」の記述通りLucasにより k·2n+2 + 1 の形のものに限られることが示されている)。 また、定規とコンパスによる作図問題1つである、正多角形は(定規コンパスのみで)作図できるかという問題において、正 n 角形作図可能であるのは、n を素因数分解したときに奇数因子全てフェルマー素数であり、なおかつそれらが相異なる場合のみであることがガウスにより証明されている。 現在 F5 以降フェルマー数素数であるものが存在するかどうか知られていないまた、フェルマー素数やフェルマー合成数無限にあるかどうか知られていないフェルマー数最大素因数についてはA070592を、最小素因数についてはA093179を参照フェルマー数素数性、素因数分解に関する情報外部リンク挙げたサイトが詳しい。

※この「フェルマー素数」の解説は、「フェルマー数」の解説の一部です。
「フェルマー素数」を含む「フェルマー数」の記事については、「フェルマー数」の概要を参照ください。

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