作図可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 10:08 UTC 版)
「六万五千五百三十七角形」の記事における「作図可能性」の解説
「定規とコンパスによる作図#作図可能な正多角形」も参照 65537 は 2 2 4 + 1 {\displaystyle 2^{2^{4}}+1} の形で表され、2018年2月現在知られているうちで最大のフェルマー素数である。カール・フリードリヒ・ガウスは1801年に出版した『整数論の研究』において、p がフェルマー素数ならば正 p 角形は定規とコンパスで作図可能であることを証明した。また、逆に、奇素数 p に対して正 p 角形が作図可能ならば、p はフェルマー素数であることも証明した。知られているフェルマー素数は、ガウス以前から 3, 5, 17, 257, 65537 のみであり、これで全てであろうと予想されている。 正65537角形がコンパスと定規で作図可能であることは、1の原始65537乗根（のひとつ） cos 2 π 65537 + i sin 2 π 65537 ≈ 0.9999999954042 + 0.0000958723362 i {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{65537}}+i\sin {\frac {2\pi }{65537}}\approx 0.9999999954042+0.0000958723362\,i} の実部と虚部が共に、有理数から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。
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作図可能性
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「四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形」の記事における「作図可能性」の解説
「定規とコンパスによる作図#作図可能な正多角形」も参照 4294967295 は 2 2 5 − 1 {\displaystyle 2^{2^{5}}-1} の形で表され、その素因数分解は 3 × 5 × 17 × 257 × 65537 {\displaystyle 3\times 5\times 17\times 257\times 65537} と、知られているフェルマー素数全ての積である。カール・フリードリヒ・ガウスが明らかにしたところによると、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件は、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち n = 2 m F a F b ⋯ F c ( F a , F b , ⋯ , F c {\displaystyle n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad (F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}} は相異なるフェルマー素数、 m {\displaystyle m} は非負整数) の形で表されることである。ゆえに、65537 より大きなフェルマー素数が存在しないという予想がもし正しければ、正4294967295角形は作図可能な正奇数角形のうちで辺の個数が最大のもの、ということになる。 正4294967295角形がコンパスと定規で作図可能であることは、1の原始4294967295乗根（のひとつ） cos 2 π 4294967295 + i sin 2 π 4294967295 ≈ ( 1 − 1.07006 × 10 − 18 ) + 1.462918 − 9 i {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{4294967295}}+i\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx (1-1.07006\times 10^{-18})+1.462918^{-9}i} の実部と虚部が共に、有理数から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。 正4294967295角形を実際に作図する手順は膨大なものになるが、理論的には以下のように考えればよい。例えば、正3角形と正5角形の作図ができれば、正15角形が作図できる。実際、円周を3等分することも5等分することもできれば、15等分することもできる。同様に、正15角形と正17角形の作図ができれば、正255角形の作図ができる。以下同様。よって、正多角形の作図は正素数角形の作図に帰着され、正素数角形の作図が本質的に難しい部分である。
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