対称テンソルと反対称テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)
「一般相対性理論の数学」の記事における「対称テンソルと反対称テンソル」の解説
詳細は「テンソル」を参照 いくつかの物理量はその成分のすべてが独立ではないテンソルで表現されることがある。そのようなテンソルの重要な例としては、対称テンソルと反対称テンソルを含む。反対称テンソルは、回転を表現することによく使われる (たとえば、渦流テンソル(英語版)(vorticity tensor))。 4次元でランクR のテンソルは一般に4R 個の成分を持つが、対称あるいは反対称といった制約によって独立な成分の数が減る。例えば、ランク 2の対称テンソル T {\displaystyle \scriptstyle T} は T a b = T b a {\displaystyle \scriptstyle T_{ab}\;=\;T_{ba}} を満たし、独立な成分は10個となる。一方、ランク 2の反対称テンソル P {\displaystyle \scriptstyle P} は P a b = − P b a {\displaystyle \scriptstyle P_{ab}\;=\;-P_{ba}} を満し、独立な成分は6個である。2よりも大きなランクに対しては、添字のうちどれが対称、あるいは反対称なペアであるかは明示的に示さなければならない。 ランク 2の反対称テンソルは、一般相対性理論の中で重要な役割を果たす。そのようなテンソルの集合は、しばしば双ベクトル(英語版)とも呼ばれ、双ベクトル空間と呼ばれる 6次元のベクトル空間を形成する。
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