対称テンソル積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
Wuを構成する準備として、対称テンソル積を定義する。W1/2の2u個のコピーのテンソル積 W 1 / 2 ⊗ 2 u = W 1 / 2 ⊗ ⋯ ⊗ W 1 / 2 ⏟ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}=\underbrace {W_{1/2}\otimes ~\cdots ~\otimes W_{1/2}} _{2u}} を考え、 W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}} の元 ψ = ∑ j ϕ j , 1 ⊗ ⋯ ⊗ ϕ j , 2 u {\displaystyle \psi =\sum _{j}\phi _{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,2u}} に対し、ψの対称化を S ( ψ ) := ∑ j ϕ j , 1 ⊙ ⋯ ⊙ ϕ j , 2 u {\displaystyle {\mathcal {S}}(\psi ):=\sum _{j}\phi _{j,1}\odot ~\cdots ~\odot \phi _{j,2u}} := 1 ( 2 u ) ! ∑ j ∑ σ ∈ S 2 u ϕ j , σ 1 ⊗ ⋯ ⊗ ϕ j , σ 2 u {\displaystyle :={1 \over (2u)!}\sum _{j}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2u}}\phi _{j,\sigma _{1}}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,\sigma _{2u}}} …(M1) により定義する。ここで S 2 u {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2u}} は置換群である。すなわち S ( ψ ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\psi )} は各jに対し、 ϕ 1 ⊗ ⋯ ⊗ ϕ 2 ″ u ″ {\displaystyle \phi _{1}\otimes \cdots \otimes \phi _{2''u''}} の添字を入れ替えたもの全ての和を(2u)!で割ったものである。（このように定義してもwell-definedである）。対称化したテンソルを対称テンソルと呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}} と表記する。e0、e1をW1/2=C2の基底とし、 E j = e 0 ⊙ ⋯ ⊙ e 0 ⏟ j ⊙ e 1 ⊙ ⋯ ⊙ e 1 ⏟ 2 u − j {\displaystyle E_{j}=\underbrace {\mathbf {e} _{0}\odot ~\cdots ~\odot \mathbf {e} _{0}} _{j}\odot \underbrace {\mathbf {e} _{1}\odot ~\cdots ~\odot \mathbf {e} _{1}} _{2u-j}} と定義すると、E0、…、E2sは明らかに W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}} の基底となる。したがって W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}} は2u+1次元である。
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対称テンソル積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/06/21 03:55 UTC 版)
単純テンソル T をテンソル積 T = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r {\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}} v 1 ⊙ v 2 ⊙ ⋯ ⊙ v r := 1 r ! ∑ σ ∈ S r v σ 1 ⊗ v σ 2 ⊗ ⋯ ⊗ v σ r {\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}} T 1 ⊙ T 2 = Sym ( T 1 ⊗ T 2 ) ( ∈ Sym k 1 + k 2 ( V ) ) {\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right)} と定義すれば、これが実際に可換かつ結合的であることが確かめられる (Kostrikin,Manin 1997)。 文脈によっては演算子を省略して単なる併置とすることもある (T1T2 = T1 ⊙ T2)。冪記法を用いて v ⊙ k = v ⊙ v ⊙ ⋯ ⊙ v ⏟ k times = v ⊗ v ⊗ ⋯ ⊗ v ⏟ k times = v ⊗ k {\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}} v k = v v ⋯ v ⏟ k times = v ⊙ v ⊙ ⋯ ⊙ v ⏟ k times {\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}} のようにも書く。
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