対称代数や外積代数の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 10:15 UTC 版)
「多重線型代数」の記事における「対称代数や外積代数の構造」の解説
加群の直和 E ⊕ F に対して、次数付き加群としての自然な同一視 S (E ⊕ F ) ≡ SE ⊗ SF や ∧(E ⊕ F ) ≡ ∧E ⊗ ∧F がある。つまり、各自然数 k について S k ( E ⊕ F ) ≡ ⨁ k = m + n S m E ⊗ S n F , ⋀ k ( E ⊕ F ) ≡ ⨁ k = m + n ⋀ m E ⊗ ⋀ n F {\displaystyle \mathrm {S} ^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}\mathrm {S} ^{m}E\otimes \mathrm {S} ^{n}F,~{\boldsymbol {\bigwedge }}^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}{\boldsymbol {\bigwedge }}^{m}E\otimes {\boldsymbol {\bigwedge }}^{n}F} が成立している。したがって、dim SnE や dim ∧nE の母関数 σt (E ) = ∑ dim(SnE )tn や λt (E ) = ∑ dim(∧nE )tn について σ t ( E ⊕ F ) = σ t ( E ) σ t ( F ) , λ t ( E ⊕ F ) = λ t ( E ) λ t ( F ) {\displaystyle \sigma _{t}(E\oplus F)=\sigma _{t}(E)\sigma _{t}(F),~\lambda _{t}(E\oplus F)=\lambda _{t}(E)\lambda _{t}(F)} が成立している。ここから σt (K ) = 1 + t + t 2 + … = 1/(1 - t ) や λt (K ) = 1 + t から dim ∧n Km = nCm などが従う。
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