互いに直交する単位ベクトルの微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 14:43 UTC 版)
「フレネ・セレの公式」の記事における「互いに直交する単位ベクトルの微分」の解説
曲線上の各点 r (s) で定義された正規直交基底 {e1(s), e2(s), e3(s)} (動標構（英語版）)を考える。それぞれのベクトルは s について微分可能とする。 微分したベクトル{de1(s)/ds , de2(s)/ds , de3(s )/ds }は、あるスカラー関数 ω1(s), ω2(s), ω3(s) を使って d d s ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) = ( 0 ω 3 − ω 2 − ω 3 0 ω 1 ω 2 − ω 1 0 ) ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{2}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{3}(s)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\omega _{3}&-\omega _{2}\\-\omega _{3}&0&\omega _{1}\\\omega _{2}&-\omega _{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{2}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{3}(s)\\\end{pmatrix}}} …(0) と表せる。 行列の反対称性の証明 基底の縦表示 Q = ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) {\displaystyle Q={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{2}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{3}(s)\end{pmatrix}}} を考える。これらの要素のベクトルは基底をなすから任意のベクトルを線形和で表示できる。よって自身の微分に対しても d Q d s = Ω Q {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}={\it {\Omega }}\,Q} …(p1) となる行列 Ω が存在する。よって、証明すべきことはこの行列が反対称性 (ΩT=-Ω) を持つことである。 さて、{ e1(s), e2(s), e3(s)} は正規直交基底なので Q ⋅ Q T = ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) ⋅ ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ∴ Q ⋅ Q T = I {\displaystyle {\begin{aligned}Q\cdot Q^{\mathrm {T} }&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{2}(s)\\{\boldsymbol {e}}_{3}(s)\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}(s)&{\boldsymbol {e}}_{2}(s)&{\boldsymbol {e}}_{3}(s)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\therefore Q\cdot Q^{\mathrm {T} }&=I\end{aligned}}} となる。 これを式(p1)に適用すると Ω = d Q d s ⋅ Q T {\displaystyle {\it {\Omega }}={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }} が得られる。 また、I =Q ・QT の両辺を微分すると、 0 = d Q d s ⋅ Q T + Q ⋅ d Q T d s = d Q d s ⋅ Q T + ( d Q d s ⋅ Q T ) T = Ω + Ω T {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }+Q\cdot {\frac {\mathrm {d} Q^{\mathrm {T} }}{\mathrm {d} s}}\\&=\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }+\left({\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }&={\it {\Omega }}+{\it {\Omega }}^{\mathrm {T} }\end{aligned}}} が導かれる。これより、Ω が反対称性 Ω = ( 0 ω 3 − ω 2 − ω 3 0 ω 1 ω 2 − ω 1 0 ) {\displaystyle {\it {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{3}&-\omega _{2}\\-\omega _{3}&0&\omega _{1}\\\omega _{2}&-\omega _{1}&0\end{pmatrix}}} を持つことが示せた。 反対称行列は3個のパラメータで表せるが、以下に示すように、正規直交基底を適切に選ぶと反対称行列の成分を2個のパラメータで表すことができる。
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