ベクトルポテンシャルの存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/21 14:44 UTC 版)
「ポアンカレの補題」の記事における「ベクトルポテンシャルの存在」の解説
同様に、R3 全体で定義された3次元のベクトル場 G において、その発散 div が div G = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {G} =0} を満たすならば、 G = rot A {\displaystyle \mathbf {G} =\operatorname {rot} \mathbf {A} } の関係を満たす R3 上のベクトルポテンシャル A が存在する。この場合、G = (G1, G2, G3) は2次微分形式 ω = G 1 d y ∧ d z + G 2 d z ∧ d x + G 3 d x ∧ d y {\displaystyle \omega =G_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+G_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+G_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\,} に対応し、A = (A1, A2, A3) は1次微分形式 η = A 1 d x + A 2 d y + A 3 d z {\displaystyle \eta =A_{1}\mathrm {d} x+A_{2}\mathrm {d} y+A_{3}\mathrm {d} z\,} に対応している。また、発散 div の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。
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