ベクトルパラメータ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 08:32 UTC 版)
単一の実数パラメータに基づく指数型分布族を、複数の実数パラメータ（下記ベクトル）に基づく指数型分布族に拡張できる。 θ = ( θ 1 , θ 2 , … , θ s ) ⊺ . {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{s}\right)^{\intercal }.} 確率密度関数（または離散分布の場合は確率質量関数）が次のように記述できる場合、ベクトル指数型分布族に属している。 f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp ( ∑ i = 1 s η i ( θ ) ⋅ T i ( x ) − A ( θ ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp {\left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})\cdot T_{i}(x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right)}} またはもっとコンパクトな形で f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp ( η ( θ ) ⊺ T ( x ) − A ( θ ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}(x)-A({\boldsymbol {\theta }}){\Big )}}} 下記のように記載されることも多い。 f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) g ( θ ) exp ( η ( θ ) ⊺ T ( x ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\exp {\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}(x){\Big )}} スカラー値の場合と同様に、ベクトル指数型分布族は次の場合に正準型と呼ばれる。 ∀ i : η i ( θ i ) = θ i . {\displaystyle \forall i:\quad \eta _{i}(\theta _{i})=\theta _{i}.}
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