ベクトルバンドルの曲率形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/30 08:05 UTC 版)
「曲率形式」の記事における「ベクトルバンドルの曲率形式」の解説
E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式 Ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega } となる。ここに ∧ {\displaystyle \wedge } はウェッジ積とする。さらに詳しくは、 ω j i {\displaystyle \omega _{\ j}^{i}} と Ω j i {\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}} で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の ω j i {\displaystyle \omega _{\ j}^{i}} は通常の 1-形式で、各々の Ω j i {\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}} は通常の 2-形式である）、 Ω j i = d ω j i + ∑ k ω k i ∧ ω j k {\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}} となる。 例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、 R ( X , Y ) = Ω ( X , Y ) , {\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),} となる。
※この「ベクトルバンドルの曲率形式」の解説は、「曲率形式」の解説の一部です。
「ベクトルバンドルの曲率形式」を含む「曲率形式」の記事については、「曲率形式」の概要を参照ください。
- ベクトルバンドルの曲率形式のページへのリンク
