直交曲線座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:26 UTC 版)
数学において、直交曲線座標（ちょっこうきょくせんざひょう）、直交座標（ちょっこうざひょう、英: orthogonal coordinates）とは、座標超曲面同士が互いに直交するようなd個の座標q = (q1, q2, ..., qd)の組として定義される（注：上付き添え字は指数ではなく添え字 (Einstein notation) を意味する）。ある座標qkに対する座標超曲面とは、qkが定数となる超曲面（場合によっては曲線、曲面）のことである。たとえば、3次元のデカルト座標系 (x, y, z) では「x = 定数」、「y = 定数」、「z = 定数」は座標超曲面であるが、これらが互いに直角に交るので、直交座標系である。直交曲線座標は曲線座標の特殊な例である。
- ^ Weisstein, Eric W. "Orthogonal Coordinate System". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Morse and Feshbach 1953, Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
- ^ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
- ^ a b Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
直交曲線座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 14:06 UTC 版)
「ベクトル解析の公式の一覧」の記事における「直交曲線座標」の解説
3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の曲線座標 x i {\displaystyle x^{i}} について、その座標系で計量が d s 2 = ∑ i = 1 3 h i ( x ) 2 ( d x i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}(x)^{2}(dx^{i})^{2}} という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} とする。 体積要素 d V = h d x 1 d x 2 d x 3 , h = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle dV=hdx^{1}dx^{2}dx^{3},\ \ h=h_{1}h_{2}h_{3}} 勾配 ∇ f = ∑ i = 1 3 1 h i ∂ f ∂ x i e i {\displaystyle \mathbf {\nabla } f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{i}} 発散 ∇ ⋅ A = ∑ i = 1 3 1 h ∂ ∂ x i ( h h i A i ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}}}A_{i}\right)} 回転 ∇ × A = ∑ i = 1 3 e i ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ϵ i j k h i h ∂ ( h k A k ) ∂ x j {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {e} _{i}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\frac {h_{i}}{h}}{\frac {\partial (h_{k}A_{k})}{\partial x^{j}}}} ラプラシアン (スカラー場) ∇ 2 f = ∑ i = 1 3 1 h ∂ ∂ x i ( h h i 2 ∂ f ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)} 物質微分 [ ( A ⋅ ∇ ) B ] i = ∑ k = 1 3 [ A k h k ∂ B i ∂ x k + ( A i ∂ h i ∂ x k − A k ∂ h k ∂ x i ) B k h k h i ] {\displaystyle [(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left[{\frac {A_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{k}}}+\left(A_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{k}}}-A_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial x_{i}}}\right){\frac {B_{k}}{h_{k}h_{i}}}\right]}
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