直交曲線座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:26 UTC 版)
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数学において、直交曲線座標（ちょっこうきょくせんざひょう）、直交座標（ちょっこうざひょう、英: orthogonal coordinates）とは、座標超曲面同士が互いに直交するようなd個の座標q = (q1, q2, ..., qd)の組として定義される（注：上付き添え字は指数ではなく添え字 (Einstein notation) を意味する）。ある座標qkに対する座標超曲面とは、qkが定数となる超曲面（場合によっては曲線、曲面）のことである。たとえば、3次元のデカルト座標系 (x, y, z) では「x = 定数」、「y = 定数」、「z = 定数」は座標超曲面であるが、これらが互いに直角に交るので、直交座標系である。直交曲線座標は曲線座標の特殊な例である。
動機
ベクトル同士の演算や物理法則の導出は、通常、デカルト座標系 (英: Cartesian coordinates) で行うのが最も簡単であるが、量子力学における場の理論、流体力学、等角性を保持する地図投影（正角図法）、電気力学、プラズマ物理学、化学種や熱の拡散等において生じるような境界値問題においては、デカルト座標ではない直交座標（非デカルト直交座標、即ち直交座標）がよく用いられる。
非デカルト直交座標の利点は、問題の対称性に合わせて座標を選ぶことができる点である。例えば、地面（あるいは他の障害物）から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、デカルト座標では3次元空間に依存するが、球座標では問題はほぼ1次元となる（圧力波は時間と中心からの距離のみに依存するため）。デカルト座標では偏微分方程式を含む2次元の境界値問題を解かなければならないが、円筒座標では偏微分方程式を用いずとも、常微分方程式で表現可能1次元の問題に帰着される。
一般的な曲線座標 (英: curvilinear coordinates) ではなく、直交曲線座標を好まれる理由は、これを用いたほうが単純であるからである。直交しない座標では多くの複雑な問題が発生する。例えば、直交曲線座標では、多くの問題が変数分離によって解決されることがある。変数分離とは、複雑なd次元の問題を、「既知の関数で解くことができるd個の1次元の問題」に変換する数学的手法である。多くの方程式は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式に還元することができる。ラプラス方程式は、下表13番に示す座標系（トロイダル座標を除く下表14番に示す座標）で変数分離可能であり、ヘルムホルツ方程式は、下表11番の座標系で変数分離可能である[1][2]。
直交曲線座標は、計量テンソルの非対角項を決して持たない。つまり、無限小の2乗距離、即ち ds2 は、常に、「無限小の座標変位の2乗の総和」として書くことができる。
即ち、:
ここで 'r は何らかの点を表し、q i は基底ベクトルを抽出した座標である。つまり、1つの座標以外を固定して曲線を得、固定しない座標をパラメトリック曲線のように変化させ、パラメータ（変化する座標）に対する曲線の微分を、その座標の基底ベクトルとする。
なお、ベクトルは必ずしも等しい長さとは限らない。座標のスケールファクターとして知られる便利な関数は、単に基底ベクトル 
直交曲線座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 14:06 UTC 版)
「ベクトル解析の公式の一覧」の記事における「直交曲線座標」の解説
3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の曲線座標 x i {\displaystyle x^{i}} について、その座標系で計量が d s 2 = ∑ i = 1 3 h i ( x ) 2 ( d x i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}(x)^{2}(dx^{i})^{2}} という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} とする。 体積要素 d V = h d x 1 d x 2 d x 3 , h = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle dV=hdx^{1}dx^{2}dx^{3},\ \ h=h_{1}h_{2}h_{3}} 勾配 ∇ f = ∑ i = 1 3 1 h i ∂ f ∂ x i e i {\displaystyle \mathbf {\nabla } f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{i}} 発散 ∇ ⋅ A = ∑ i = 1 3 1 h ∂ ∂ x i ( h h i A i ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}}}A_{i}\right)} 回転 ∇ × A = ∑ i = 1 3 e i ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ϵ i j k h i h ∂ ( h k A k ) ∂ x j {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {e} _{i}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\frac {h_{i}}{h}}{\frac {\partial (h_{k}A_{k})}{\partial x^{j}}}} ラプラシアン (スカラー場) ∇ 2 f = ∑ i = 1 3 1 h ∂ ∂ x i ( h h i 2 ∂ f ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)} 物質微分 [ ( A ⋅ ∇ ) B ] i = ∑ k = 1 3 [ A k h k ∂ B i ∂ x k + ( A i ∂ h i ∂ x k − A k ∂ h k ∂ x i ) B k h k h i ] {\displaystyle [(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} ]_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left[{\frac {A_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{k}}}+\left(A_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial x_{k}}}-A_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial x_{i}}}\right){\frac {B_{k}}{h_{k}h_{i}}}\right]}
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