直交座標を用いて
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
ガウス積分を計算する別な方法として、以下はラプラス (1812) にまで遡れる。 y = x s , d y = x d s {\displaystyle y=xs,\quad dy=x\,ds} と置くと、y を ±∞ へ近づけるとき s の極限は x の符号で決まるから、exp(−x2) が偶函数ゆえに実数全体にわたる積分が正の実数全体にわたる積分の 2 倍となること、つまり ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} であることを利用すれば計算が簡単になる。即ち、積分範囲を x ≥ 0 に限れば、変数 y と s とは同じ極限を持ち、 I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x {\displaystyle I^{2}=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dy\,dx} が成り立つ。故に I 2 4 = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y ) d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s ) d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x ) d s = 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 = 1 2 arctan s | 0 ∞ = π 4 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {I^{2}}{4}}&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,ds\right)dx\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,dx\right)\,ds={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\\[5pt]&=\left.{\frac {1}{2}}\arctan s\,\right|_{0}^{\infty }={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}} となり、所期の I = √π を得る。
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