反変基底（Contravariant basis）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)
「直交曲線座標」の記事における「反変基底（Contravariant basis）」の解説
前節に示した基底ベクトル( e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} )は共変基底ベクトルといわれるが、それはベクトルと「共変」するからである。直交曲線座標の場合、反変基底ベクトル ( e i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} ) は、共変ベクトルと同じ方向（但し逆長）になるので、簡単に求められる（このため、2組の基底ベクトルは互いに対して逆であると言われる）即ち、 e i = e ^ i h i = e i h i 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}} クロネッカーのデルタを使うと、 e i = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\delta _{i}^{j}} となることに注意のこと。 また、 e ^ i = e i h i = h i e i = e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}} 我々は、直交曲線座標上の「ベクトル」を記述するためによく使われる3つの異なる基底セット、即ち、共変基底ei、反変基底ei、正規化基底êiの3つの基底を持つ。「ベクトル」はobjective quantity,であり、その同一性はどの座標系にも依存しないが、「ベクトル」の成分はそのベクトルがどの基底で表現されるかに依存する。 x = ∑ i x i e i = ∑ i x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}} 添字の位置は成分の計算方法を表している（上付の添字を指数と混同してはいけない）。なお、すべての基底ベクトル（i=1, 2, ..., d）に対する和を示す記号Σ（大文字のSigma）と和の範囲は、しばしば省略（アインシュタイン表記）されることがある。それぞれの基底における成分同士の関係は、以下のようになる。 h i 2 x i = x i {\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}} 正規化基底に関するベクトルの成分を指定するために広く使われている表記法はない。本稿では、ベクトル成分には添え字を用い、成分が正規化基底で計算されていることに着目する。
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