反変変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/12 05:43 UTC 版)
「ベクトルの共変性と反変性」の記事における「反変変換」の解説
V のベクトル v は基底 f の元の線形結合として一意に表される。 v = ∑ i v i [ f ] X i . {\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}[{\boldsymbol {f}}]X_{i}.} (2) ここで vi [f] は S のスカラーであり、ベクトル v の基底を f にとったときの成分 (components, entries ) と呼ばれる。v の成分を列ベクトル v[f] で表すと次のようになる： v [ f ] = [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ⋮ v n [ f ] ] {\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\begin{bmatrix}v^{1}[{\boldsymbol {f}}]\\v^{2}[{\boldsymbol {f}}]\\\vdots \\v^{n}[{\boldsymbol {f}}]\end{bmatrix}}} これにより (2) は行列の積の形に書き直せる。 v = f v [ f ] . {\displaystyle v={\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}].} ベクトル v を f' を基底として表現すると、次のようになる。 v = f ′ v [ f ′ ] . {\displaystyle v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}'].} ただし、ベクトル v そのものは基底の選び方によらず不変であるので、二つの表現は互いに等しい。 f v [ f ] = v = f ′ v [ f ′ ] . {\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]=v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}'].} v の不変性と (1) の基底 f と f' の関係を組み合わせれば、以下の関係から、 f v [ f ] = f A v [ f A ] , {\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {A}}],} 次の変換規則を得る。 v [ f A ] = A − 1 v [ f ] . {\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {A}}]={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}].} また、成分表示では次のように書ける。 v i [ f A ] = ∑ j a ~ j i v j [ f ] . {\displaystyle v^{i}[{\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {A}}]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[{\boldsymbol {f}}].} ここで係数 a ~ j i {\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}} は A の逆行列の i, j 成分である。 ベクトル v の成分は基底を変換する行列 A の逆行列によって変換されるため、ベクトルの成分は基底の変換に対して反変である (transform contravariantly ) という。 変換 A によって結び付けられる基底とベクトルの組は、矢印を使った図で次のようにラフに表現される。反対向きの矢印は反変変換を示す： f ⟶ f ′ v [ f ] ⟵ v [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\v[{\boldsymbol {f}}]&\longleftarrow &v[{\boldsymbol {f}}']\end{array}}}
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