線型結合
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線形結合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/26 06:45 UTC 版)
先述と同じ定義で、 R ℓ m ( r , θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 r ℓ Θ ℓ | m | ( cos θ ) e i m φ , − ℓ ≤ m ≤ ℓ , {\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,} ただし Θ ℓ m ( cos θ ) ≡ [ ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ] 1 / 2 sin m θ d m P ℓ ( cos θ ) d cos m θ , m ≥ 0 , {\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,} ここで P ℓ ( cos θ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )} は l 次のルジャンドル多項式である。 この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon-Shortley phase）として知られている。 実の正則体球調和関数は次のように定義される。 ( C ℓ m S ℓ m ) ≡ 2 r ℓ Θ ℓ m ( cos m φ sin m φ ) = 1 2 ( ( − 1 ) m 1 − ( − 1 ) m i i ) ( R ℓ m R ℓ − m ) , m > 0. {\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.} また m = 0 に対しては C ℓ 0 ≡ R ℓ 0 . {\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.} 線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
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