線形系と有理写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/27 08:51 UTC 版)
「因子 (代数幾何学)」の記事における「線形系と有理写像」の解説
X を体 k 上定義された正規代数多様体とし、D をその上のヴェイユ因子とする。D に付随する完備線形系 (complete linear system) | D | とは D と線形同値な有効因子全体のなす空間のことである。L(D) を層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} の大域切断のなす k-ベクトル空間 Γ ( X , O X ( D ) ) {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D))} とすると、 L ( D ) = { f ∈ k ( X ) ∣ v Z ( D ) + v Z ( f ) ≥ 0 } {\displaystyle L(D)=\{f\in k(X)\mid v_{Z}(D)+v_{Z}(f)\geq 0\}} E = D + (f) と書ける。主因子 (f) は f の定数倍の差に拠らないから、| D | は L(D) に付随する射影空間 P L ( D ) {\displaystyle \mathbb {P} L(D)} と同一視される。L(D) の部分線形空間 V をとると、それに対応して部分射影空間 Λ ⊂ | D | が定まる。このようにして定まる Λ を線形系 (linear system) という。 いま、線形系 Λ に属する因子 D に対して L ( D ) = Γ ( X , O X ( D ) ) {\displaystyle L(D)=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D))} が有限次元であると仮定する。たとえば、この仮定は X が体 k 上固有 (proper) であればつねに満足される。このとき、Λ ⊂ | D | はともに有限次元の射影空間となる。X の点 p に対して、 Λ p = { E ∈ Λ ∣ p ∈ E } {\displaystyle \Lambda _{p}=\{E\in \Lambda \mid p\in E\}} を対応させる対応を考えると、一般の位置にある p に対しては Λp は Λ の超平面になるので、有理写像 φ Λ : X − → Λ ∨ {\displaystyle \varphi _{\Lambda }:X-\to \Lambda ^{\vee }} が定まる。 X の点 p が有理写像 φ Λ {\displaystyle \varphi _{\Lambda }} の不確定点（写像が定義できない点）であることは、Λ に属する任意の有効因子が点 p を通ることと同値である。そこで、Λ の基点（base point、 あるいは固定点; fixed point ともいう）のなす部分集合 Bs Λ を Bs Λ = { p ∈ X ∣ ∀ E ∈ Λ p ∈ E } = ⋂ E ∈ Λ E {\displaystyle {\mbox{Bs}}\Lambda =\{p\in X\mid \forall E\in \Lambda \quad p\in E\}=\bigcap _{E\in \Lambda }E} で定めると、これは X の閉集合になる。Bs Λ は余次元1の既約成分（素因子）を含んでいるかもしれない。線形系 Λ に対してその固定部分 (fixed part) F を、任意の E ∈ Λ に対して E - F が有効因子になるような F のうち（各素因子の係数が）最大のものとする。このとき、線形系 M = Λ - F = { E - F | E ∈ Λ } の基点の集合は素因子を含まない。この M を線形系 Λ の可動部分 (movable part, mobile part) とよぶ。固定部分を持たない線形系を可動な線形系と呼ぶ。 正規代数多様体 X から射影空間への有理写像 F : X − → P k n {\displaystyle F:X-\to \mathbb {P} _{k}^{n}} を取ると、 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} の超平面 H はカルティエ因子であり、引き戻し F ∗ H {\displaystyle F^{*}H} が F の定義域 U ⊂ X 上で定義される。X が正規である事から X \ U の余次元は2以上であるので、これは X 上のヴェイユ因子を定める。超平面が双対射影空間 H ∈ ( P k n ) ∨ {\displaystyle H\in \mathbb {(} \mathbb {P} _{k}^{n})^{\vee }} をわたるときの Λ = { F ∗ H ∣ H ∈ ( P k n ) ∨ } {\displaystyle \Lambda =\{F^{*}H\mid H\in \mathbb {(} \mathbb {P} _{k}^{n})^{\vee }\}} は線形系をなす。F の像が P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} の部分射影空間に含まれないとすると、dim Λ = n となり、Λ は固定部分を持たない、すなわち、可動な線形系であり、 φ Λ = F {\displaystyle \varphi _{\Lambda }=F} となる。このようにして、可動な線形系は、射影空間への有理写像であって、像が非退化（どんな超平面にも含まれない）なものと1対1に対応している。線形系 Λ の基点集合 Bs Λ が空集合であるとき、自由（free あるいは、基点をもたない base point free）であるという。自由な線形系は、射影空間への非退化な像を持つ射と1対1に対応する。自由な線形系に属する因子は、射影空間の超平面因子の引き戻しで書けるので、カルティエ因子である。 部分空間 V ⊂ L(D) に対応する線形系 Λ が自由である事は、自然な層の準同型 V ⊗ O X → O X ( D ) {\displaystyle V\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)} が全射になることと言い換えられる。これを O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は V で生成される (generated by V) と言う。 より一般に、スキーム S 上有限型な被約で既約なスキーム f : X → S {\displaystyle f:X\to S} 上のカルティエ因子 D に対して f ∗ O X ( D ) {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D)} が連接層になると仮定する。たとえば、f が固有射のときはいつでもこの仮定は成り立つ。いま、部分連接層 V ⊂ f ∗ O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\subset f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D)} に対して自然な準同型 f ∗ V → O X ( D ) {\displaystyle f^{*}{\mathcal {V}}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)} が全射になるとき、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は S 上 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} で生成されるという。このときも、体 k 上で考えていた場合と同じく、S スキームの射 φ V : X → P ( V ) {\displaystyle \varphi _{\mathcal {V}}:X\to \mathbb {P} ({\mathcal {V}})} であって、 O X ( D ) = φ V ∗ O P ( V ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)=\varphi _{\mathcal {V}}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1)} となるものが定まる。
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