線形状態空間モデルの離散化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/10 02:52 UTC 版)
「離散化」の記事における「線形状態空間モデルの離散化」の解説
離散化は連続微分方程式を数値解析に適した離散差分方程式に変換することにも関係する。 次に連続時間状態空間モデルを示す。 x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) + w ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) + v ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)} ここで v と w はパワースペクトル密度を有する連続ゼロ平均ホワイトノイズ源である。 w ( t ) ∼ N ( 0 , Q ) {\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )} v ( t ) ∼ N ( 0 , R ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )} 入力 u に対するゼロ次ホールドとノイズ v に対する連続積分を仮定することで離散化することができる。 x [ k + 1 ] = A d x [ k ] + B d u [ k ] + w [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]} y [ k ] = C d x [ k ] + D d u [ k ] + v [ k ] {\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]} 共分散は以下となる。 w [ k ] ∼ N ( 0 , Q d ) {\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})} v [ k ] ∼ N ( 0 , R d ) {\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})} ここで A d = e A T = L − 1 { ( s I − A ) − 1 } t = T {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}} B d = ( ∫ τ = 0 T e A τ d τ ) B = A − 1 ( A d − I ) B {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} } （もし A {\displaystyle \mathbf {A} } が正則行列であれば） C d = C {\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} } D d = D {\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} } Q d = ∫ τ = 0 T e A τ Q e A ⊤ τ d τ {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau } R d = 1 T R {\displaystyle \mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R} } である。 T {\displaystyle T} はサンプル時間、 A ⊤ {\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }} は A {\displaystyle \mathbf {A} } 行列である。 1つのステップで Ad と Bd を計算するための巧妙な手段は次の特性を使うことである:p. 215 e [ A B 0 0 ] T = [ M 11 M 12 0 I ] {\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}} ここで A d = M 11 {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11}} B d = M 12 {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}}
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