線形方程式系の解の計算例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:37 UTC 版)
「行列の基本変形」の記事における「線形方程式系の解の計算例」の解説
A = [ 2 2 1 − 3 1 2 5 4 − 1 − 4 − 14 − 15 ] , b = [ 4 3 − 5 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&2&1&-3\\1&2&5&4\\-1&-4&-14&-15\\\end{bmatrix}},b={\begin{bmatrix}4\\3\\-5\\\end{bmatrix}}} のとき、Ax = b を解くことを考える。 A, b に同じ左基本変形を加え、A を解きやすい形に変形する。 1行目と2行目を入れ替える。 [ 1 2 5 4 2 2 1 − 3 − 1 − 4 − 14 − 15 ] , [ 3 4 − 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\2&2&1&-3\\-1&-4&-14&-15\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\4\\-5\\\end{bmatrix}}} 2行目に1行目の (-2) 倍 を足す。 [ 1 2 5 4 0 − 2 − 9 − 11 − 1 − 4 − 14 − 15 ] , [ 3 − 2 − 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\0&-2&-9&-11\\-1&-4&-14&-15\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\-2\\-5\\\end{bmatrix}}} 3行目に1行目を足す。 [ 1 2 5 4 0 − 2 − 9 − 11 0 − 2 − 9 − 11 ] , [ 3 − 2 − 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\0&-2&-9&-11\\0&-2&-9&-11\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\-2\\-2\\\end{bmatrix}}} 3行目に2行目の(-1)倍を足す。 [ 1 2 5 4 0 − 2 − 9 − 11 0 0 0 0 ] , [ 3 − 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\0&-2&-9&-11\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\-2\\0\\\end{bmatrix}}} 1行目に2行目を足す。 [ 1 0 − 4 − 7 0 − 2 − 9 − 11 0 0 0 0 ] , [ 1 − 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4&-7\\0&-2&-9&-11\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\\end{bmatrix}}} 2行目を-1/2倍する。 [ 1 0 − 4 − 7 0 1 9 2 11 2 0 0 0 0 ] , [ 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4&-7\\0&1&{\frac {9}{2}}&{\frac {11}{2}}\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}}} これにより、Ax = b を同値な方程式系 [ 1 0 − 4 − 7 0 1 9 2 11 2 0 0 0 0 ] , b = [ 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4&-7\\0&1&{\frac {9}{2}}&{\frac {11}{2}}\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}},b={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\\end{bmatrix}}} に変形できた。 これを解くのは簡単で、x3, x4は自由であるので、x3 = 2α, x4 = 2β とおくと、 x 2 + 9 2 x 3 + 11 2 x 4 = 1 {\displaystyle x_{2}+{\frac {9}{2}}x_{3}+{\frac {11}{2}}x_{4}=1} より、 x 2 = 1 − 9 α − 11 β {\displaystyle x_{2}=1-9\alpha -11\beta } であり、 x 1 − 4 x 3 − 7 x 4 = 1 {\displaystyle x_{1}-4x_{3}-7x_{4}=1} より x 1 = 1 + 8 α + 14 β {\displaystyle x_{1}=1+8\alpha +14\beta } である。よって、 x = [ 1 + 8 α + 14 β 1 − 9 α − 11 β 2 α 2 β ] ( α , β ∈ K ) {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1+8\alpha +14\beta \\1-9\alpha -11\beta \\2\alpha \\2\beta \\\end{bmatrix}}\quad (\alpha ,\beta \in \mathbf {K} )} と、解を得ることが出来た。 表 話 編 歴 線型代数学・行列解析 連立一次方程式ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法 ベクトル線型独立 線型結合 基底 双対基底 ベクトル空間双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元 計量ベクトル空間ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間 行列・線型写像 演算・操作乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分 行列式余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式 多重線型代数外積 外積代数 対称代数 テンソル代数 数値線形代数 基本的な概念浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェアMatrix Laboratory Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリArmadillo INTLAB OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ 行列値関数行列指数関数 行列の対数 行列の平方根 その他スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
※この「線形方程式系の解の計算例」の解説は、「行列の基本変形」の解説の一部です。
「線形方程式系の解の計算例」を含む「行列の基本変形」の記事については、「行列の基本変形」の概要を参照ください。
- 線形方程式系の解の計算例のページへのリンク
