線形システム論
(線形系 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/14 21:26 UTC 版)
|
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2012年2月)
|
線形システム論（せんけいシステムろん、英語：linear system theory）は一階連立線形微分方程式で表された状態方程式を対象とした制御理論である。状態方程式が行列を用いて表現できることから、行列代数の多くの知見が適用され、現代制御論の多くの主要な結果が得られた。そのため、現代制御論と言えば線形システム論を指すことが多い。非線形システムであっても、平衡点近傍で線形近似したものを対象に制御系を設計することでうまく行くことが多く、応用範囲は非常に広い。
主な概念
モデル表現
- 状態方程式 (state equation)
-
一階線形定係数常微分方程式
-
この項目は、工学・技術に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（Portal:技術と産業）。
-
- ^ 藤本悠介、永原正章：「線形システム同定の基礎：最小二乗推定と正則化の原理」、コロナ社、ISBN 978-4-339-01403-7 (2021年8月16日).
線形系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 21:49 UTC 版)
問題が次のような定数係数の線形微分方程式であれば、全ての解を厳密に解くことができる。 d x d t = A x {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {Ax}}} ここで、A は次のような定数を各要素とする n 次正方行列である。 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}} この線形微分方程式系の初期値を x0 (t = 0) とすると、一般解は行列の指数関数を使って eAtx0 と表すことができる。このような線形微分方程式系では、A にかかわらず原点 o はつねに平衡点である。 線形微分方程式を解く上で中心的役割を果たすのが固有値と固有ベクトルである。一般に、n 次正方行列 A から導かれる特性方程式 det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}-\lambda I)=0} を解くことで、重複も含めて n 個の固有値 λ と固有ベクトル v が得られる。A の固有値 λ の値によって、線形微分方程式系の平衡点 o の安定性は次のように判別できる。 全ての固有値の実部が負のとき、平衡点は漸近安定。 実部が正の固有値を少なくとも1つ以上含むとき、平衡点は不安定。 全ての固有値が実部が負の固有値と純虚数（実部が零）の固有値から成るとき、平衡点は中立安定。
※この「線形系」の解説は、「平衡点」の解説の一部です。
「線形系」を含む「平衡点」の記事については、「平衡点」の概要を参照ください。
- 線形系のページへのリンク
