非線形系とは? わかりやすく解説

非線形性

(非線形系 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/08/02 08:06 UTC 版)

非線形性(ひせんけいせい、Non-linearity)あるいは非線形(ひせんけい、Non-linear)は、線形ではないものを指すための用語。

関連項目


非線形系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/14 21:49 UTC 版)

平衡点」の記事における「非線形系」の解説

問題微分方程式が非線形系の場合解析的な解が得られることはまれである。しかし、非線形系であっても平衡点求めることなら可能である。そして、線形系平衡点対す安定判別法を非線形平衡点対す安定性判別応用することはできる。1つは、平衡点周り線形化する方法である。 下記のような一般的な自励系微分方程式与えられているとする。 d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f({\boldsymbol {x}})} この微分方程式平衡点xe とする。xe原点とする新たな変数を y として導入すると、x = xe + y である。f が滑らであれば、f(xe + y) を xe 周りテーラー展開し、y の2次上のオーダーの項を無視することで、 d y d t = D f ( p ) y {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}=Df({\boldsymbol {p}}){\boldsymbol {y}}} という、平衡点近傍線形近似した微分方程式を得ることができる。ここで、Df(xe) は次のような xe についての f のヤコビ行列である。 D f ( x e ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( x e ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( x e ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ( x e ) ⋯ ∂ f nx n ( x e ) ) {\displaystyle Df({\boldsymbol {x}}_{e})={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {x}}_{e})&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {x}}_{e})\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {x}}_{e})&\cdots &{\cfrac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {x}}_{e})\end{pmatrix}}} A = Df(xe) と書き換えれば、近似した微分方程式上記線形系とまったく同じである。 一方で平衡点 xeヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値実部ではない場合そのような平衡点 xe双曲型平衡点という。もし平衡点 xe双曲型平衡点であればハートマン・グロブマンの定理によって、元の非線形微分方程式とそれを線形近似して得られ微分方程式の解xe近傍位相共役であることが知られている。言い換えれば線形近似方程式の解xe近傍で元の方程式の解質的に同じである。 ハートマン・グロブマンの定理により、元の非線形微分方程式平衡点安定性を、線形近似した微分方程式によって正確に判別することができる。また、平衡点 xe双曲型であるか否かかかわらずDf(xe) の固有値少なくとも1つ上の固有値が正であればxe が不安定であることが分かっている。以上をまとめると、非線形系の平衡点についてもヤコビ行列固有値もとづいて次のように判別できる平衡点 xeヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値実部が負の値であるとき、xe漸近安定平衡点 xeヤコビ行列 Df(xe) の少なくとも1つ上の固有値が正のとき、xe は不安定。 しかし、平衡点ヤコビ行列固有値実部が負の値と実部の値から成るとき、ヤコビ行列だけから安定性判別することはできない。非双曲型平衡点に対して安定性議論する一般的方法与えるのは中心多様体による方法である。次のような微分方程式系が与えられているとする。 d x d t = A x + f ( x , y ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=A{\boldsymbol {x}}+f({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})} d y d t = B y + g ( x , y ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}=B{\boldsymbol {y}}+g({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})} ここで、 x ∈ R c ,   y ∈ R s {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \mathbf {R} ^{c},\ {\boldsymbol {y}}\in \mathbf {R} ^{s}} f ( 0 , 0 ) = 0 ,   g ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle f({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0,\ g({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0} D f ( 0 , 0 ) = 0 ,   D g ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle Df({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0,\ Dg({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0} であり、A は全ての固有値実部あるような c 次正方行列、B は全ての固有値実部が負の値であるような s 次正方行列である。この場合平衡点原点 o に平行移動されている。このような微分方程式に対しては、平衡点を通る中心多様体およびその中心多様体制限されベクトル場平衡点近傍計算することで安定性判別できる。これらを解析的厳密解求めるのは難しいが、中心多様体定理によって好きな精度近似的に計算できることが保証されるヤコビ行列固有値調べことなく平衡点安定性判別する方法としては、リアプノフ関数見つける方法がある。平衡点 xe を含む開集合 U 上に定義され実数値関数 L(x)条件 L(xe) = 0 かつ x ≠ xe ならば L(x) > 0 U − {xe} 上で dL(x)/dt ≤ 0 を満たすとき、L(x)リアプノフ関数という。条件2の代わりに、 U − {xe} 上で dL(x)/dt < 0 を満たすとき、L(x)狭義リアプノフ関数という。平衡点 xe に対してリアプノフ関数存在するときは、xeリアプノフ安定である。平衡点 xe に対して狭義リアプノフ関数存在するときは、xe漸近安定である。ただし、リアプノフ関数を見つける一般的決まった方法はなく、発見的試行錯誤して探すしかない

※この「非線形系」の解説は、「平衡点」の解説の一部です。
「非線形系」を含む「平衡点」の記事については、「平衡点」の概要を参照ください。

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