線型近似
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数学における線型近似（せんけいきんじ、英: linear approximation）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。
例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、
と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした
となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。
をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。
線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。
右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。
さらに一般に、バナッハ空間においては
と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。
例
線型近似を用いて 
の近似値を求めてみよう。
という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。- 微分すると
である。 - 線型近似により
となる。 - 小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。
関連項目
線形近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/14 16:47 UTC 版)
比較静学による結果は、通常、en:implicit function theoremを用いて、均衡が静的であるとの仮定の下、均衡を定義する等式系の線形近似を計算することで導出される。これはすなわち、もし十分に小さな外生的パラメータの変化を考えるならば、それぞれの外生変数がどのように変化するのかを均衡の等式に出現する項の微分のみを用いて計算することができる。 例えば、ある外生変数 x {\displaystyle x} の均衡値が次の等式で決定されるとする。 f ( x , a ) = 0 {\displaystyle f(x,a)=0\,} ここで a {\displaystyle a} は外生パラメータ。そして、一次近似に際して、 a {\displaystyle a} の小さな変化に起因する x {\displaystyle x} の変化は次の条件を満たさなくてはいけない。 B d x + C d a = 0. {\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a=0.} ここで d x {\displaystyle {\text{d}}x} は x {\displaystyle x} の変化を表し、 d a {\displaystyle {\text{d}}a} の変化は a {\displaystyle a} の変化を表している。また、 B {\displaystyle B} と C {\displaystyle C} は、 f {\displaystyle f} の、それぞれ x {\displaystyle x} と a {\displaystyle a} に関する偏導関数（ただし、 x {\displaystyle x} と a {\displaystyle a} の初期値で計算されたもの）。これと等価的に、 x {\displaystyle x} の変化を次のように書くことができる。 d x = − B − 1 C d a . {\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a.} この等式をdaで 割ることで x の a に関するComparative static derivativeを得る。これは a の x に関する乗数とも呼ばれる。 d x d a = − B − 1 C . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.}
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