線形部分空間における体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 00:26 UTC 版)
「体積要素」の記事における「線形部分空間における体積要素」の解説
n-次元ユークリッド空間 Rn の線形部分空間が次の線形独立なベクトルにより張られるものとする。 X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}} この部分空間における体積要素を計算する場合、Xi の張る平行多胞体[訳語疑問点]が線形幾何学から Xi のグラム行列の行列式の平方根により与えられることを知っておくと便利である。 det ( X i ⋅ X j ) i , j = 1 … k {\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}} この部分空間上の任意の点 p はある座標 (u1, u2, ..., uk) により以下のように表わされる。 p = u 1 X 1 + ⋯ + u k X k {\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}} 点 p において、辺を dui とする微小平行多胞体を作ると、その体積はグラム行列の行列式の平方根により与えられる。 det ( ( d u i X i ) ⋅ ( d u j X j ) ) i , j = 1 … k = det ( X i ⋅ X j ) i , j = 1 … k d u 1 d u 2 ⋯ d u k {\displaystyle {\sqrt {\det \left((\mathrm {d} u_{i}X_{i})\cdot (\mathrm {d} u_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}} これにより線形部分空間における体積形式を定義することができる。
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