双有理幾何学
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代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つところでは(写像を）定義できないことがある。
- ^ ネフ：すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル KX がネフであるような代数多様体のことを極小と呼ぶ。 繰り返しになるが、代数多様体上のラインバンドルは、多様体の任意の代数曲線への制限の次数が非負のときに、ネフ(nef)("numerically effective" もしくは "numerically eventually free" を短くした)と呼ばれる。 特にすべての豊富なラインバンドル(ample line bundle)はネフである。 同様に、代数多様体 X 上のカルティエ因子 D な次が成り立てば、ネフである。X の中に含まれる任意の代数曲線 C に対して、交点理論の意味で、
- ^ Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.
- ^ Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.
- ^ Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 は、全ての単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを、単線織多様体 X が次数が負である KX を持つ曲線の族により被覆されるという簡単な結果を使い示した。後者の参考としてDebarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 および Example 4.7(1) を参照。
双有理幾何学
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「ヴャチェスラフ・ショクロフ」の記事における「双有理幾何学」の解説
ショクロフは双有理幾何学での功績でもっとも有名である。博士号取得後はバシリー・イスコフスキーからもっとも影響を受けた。ショクロフはイスコフスキーから提示された2つの問題、3次元非特異ファノ多様体上で線の存在性と反標準因子が定義する線形系の一般な元の非特異性に関する問題を解き、高次元の場合まで一般化した。イスコフスキーによる3次元Qコニック束の有理性基準は、1983年に発表されたショクロフの論文Prym varieties: theory and applicationsの重要な適応である。 1980年代末からは、極小モデルプログラム（森理論、MMP）の分野で活躍する。1985年に発表されたThe nonvanishing theoremは、この分野でもっとも基本的な定理のひとつで、錐体の定理、半豊富の定理などの証明などに使われる。この論文で証明された3次元フリップの終止は、同じ手法で任意の次元にまで一般化できる。 ショクロフは3-fold log flipsで奇抜的なアイデアを用い、3次元のログフリップの存在を証明した。この論文で使われた帰納法やログペアに対する特異点理論は高次元にも拡張可能である。彼が2001年に証明した4次元フリップの存在に関する定理は、2冊の本（『Flips for 3-folds and 4-folds』と『Birational geometry: linear systems and finitely-generated algebras』）で詳しく説明されている。4名の著者（Caucher Birkar, Paulo Cascini, Christopher Hacon, James McKernan）によるExistence of minimal models for varieties of log general typeは、ショクロフのアイデアを主に応用した重要な結果である。
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