双有理幾何学

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双有理幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/28 14:50 UTC 版)

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円は直線と双有理同値である。これらの間の双有理写像のひとつは、ここに図示したような立体射影である。

代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つところでは(写像を）定義できないことがある。

双有理写像

ある（既約(irreducible)な）代数多様体 X から別の多様体 Y への有理写像（英語版）は、ダッシュ付矢印で ${\displaystyle X\;-\!\!\to Y}$

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双有理幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 08:17 UTC 版)

「ヴャチェスラフ・ショクロフ」の記事における「双有理幾何学」の解説

ショクロフは双有理幾何学での功績でもっとも有名である。博士号取得後はバシリー・イスコフスキーからもっとも影響を受けた。ショクロフはイスコフスキーから提示された2つの問題、3次元非特異ファノ多様体上で線の存在性と反標準因子が定義する線形系の一般な元の非特異性に関する問題を解き、高次元の場合まで一般化した。イスコフスキーによる3次元Qコニック束の有理性基準は、1983年に発表されたショクロフの論文Prym varieties: theory and applicationsの重要な適応である。 1980年代末からは、極小モデルプログラム（森理論、MMP）の分野で活躍する。1985年に発表されたThe nonvanishing theoremは、この分野でもっとも基本的な定理のひとつで、錐体の定理、半豊富の定理などの証明などに使われる。この論文で証明された3次元フリップの終止は、同じ手法で任意の次元にまで一般化できる。 ショクロフは3-fold log flipsで奇抜的なアイデアを用い、3次元のログフリップの存在を証明した。この論文で使われた帰納法やログペアに対する特異点理論は高次元にも拡張可能である。彼が2001年に証明した4次元フリップの存在に関する定理は、2冊の本（『Flips for 3-folds and 4-folds』と『Birational geometry: linear systems and finitely-generated algebras』）で詳しく説明されている。4名の著者（Caucher Birkar, Paulo Cascini, Christopher Hacon, James McKernan）によるExistence of minimal models for varieties of log general typeは、ショクロフのアイデアを主に応用した重要な結果である。