より高次元の極小モデルとは? わかりやすく解説

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より高次元の極小モデル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/02 09:06 UTC 版)

双有理幾何学」の記事における「より高次元の極小モデル」の解説

詳細は「極小モデル」を参照 射影多様体 X が極小とは、標準バンドル KXネフ英語版)であることを言う。2次元多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。 少なくとも次元が 3 の場合には、KX がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの(特異点のこと)を標準特異点(canonical singularities)という。 すべての多様体 X は有理曲線(rational curve)で被覆されるか、もしくは極小多様体 Y に双有理同値であるろうということを、極小モデル予想と言う。Y が存在するときに、Y を X の 極小モデル という。 極小モデル少なくとも 3 次元では一意定まらないが、任意の有理である 2つ極小多様体は非常に近い存在である。例えば、極小モデルは、少なくとも余次元が 2 の部分集合外側同型で、さらに詳しくフロップ(flops)の列によって関連している。従って、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類について強い情報与えていることになる。 予想次元が 3 の場合には、Mori (1988) で証明された。一般次元問題としては未解決であるが、大きな前進があった。特に、Birkar, Cascini, Hacon と McKernan (2010) は、標数が 0 の体の上一般型代数多様体はすべて極小モデルを持つことを証明した

※この「より高次元の極小モデル」の解説は、「双有理幾何学」の解説の一部です。
「より高次元の極小モデル」を含む「双有理幾何学」の記事については、「双有理幾何学」の概要を参照ください。

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