一般次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:55 UTC 版)
N 次元球座標系において、r を正の実数をとる半径、θ は単位球面 SN−1 の元として、パラメータ表示 x = rθ ∈ RN をすれば Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f} と書ける。ただし、∆SN−1 は球ラプラシアンとも呼ばれる (N−1)-次元球面上のラプラス＝ベルトラミ作用素である。二つの球対称微分項は 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}} と書いても同じことである。一つの帰結として、SN−1 ⊂ RN 上で定義される函数の球ラプラシアンは R N ∖ { 0 } {\textstyle \mathbf {R} ^{N}\backslash \{0\}} へ延長した函数の通常のラプラシアンとして計算することができて、それは半直線に沿って定数（つまり、斉零次の斉次函数）になる。
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