一般次元のユークリッド空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 10:45 UTC 版)
「二項積」の記事における「一般次元のユークリッド空間」の解説
三次元の場合を容易に N-次元に拡張できる。標準基底 ei (i = 1, 2, 3, …, N) で表した二つのベクトル a = ∑ i = 1 N a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ a N e N {\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots a_{N}\mathbf {e} _{N}} b = ∑ j = 1 N b j e j = b 1 e 1 + b 2 e 2 + ⋯ b N e N {\displaystyle \mathbf {b} =\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots b_{N}\mathbf {e} _{N}} に対して、これらの二項積 (dyadic product) は代数的な和 A = a b = ∑ j = 1 N ∑ i = 1 N a i b j e i e j . {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}{\mathbf {e} }_{i}\mathbf {e} _{j}.} であり、行列の形に書けば ( a 1 a 2 ⋮ a N ) ( b 1 b 2 ⋯ b N ) = ( a 1 b 1 a 1 b 2 ⋯ a 1 b N a 2 b 1 a 2 b 2 ⋯ a 2 b N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a N b 1 a N b 2 ⋯ a N b N ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}} となる。（二次テンソル冪 ∧2(V) の元という意味での）一般の二項積テンソル (dyadic) A は二項積多項式 (dyadic polynomial) とも呼ばれ、複数のベクトル ai, bj の単純二項積の線型和 A = ∑ i a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\dotsb } である。次元と同じ数 N-個より少ない数の単純二項積の和に簡約することのできない二項積は完全 (complete) であると言う。
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