三角数の一般次元への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 06:12 UTC 版)
点を配置する空間の次元を 3 にして、点を正四面体（三角錐）状に配置したとき、その総数を三角錐数（四面体数）という。第 n 三角錐数は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値を N とおくと N = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 {\displaystyle N={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}} と書くことができる。また、同様に三角錐数の総和として、4次元空間での「三角数」（一般的に「単体数」という）五胞体数を定義することができる。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目の単体数 Tr(n) は T r ( n ) = ∏ k = 1 r ( 1 + n − 1 k ) = n ( n + 1 ) ⋯ ( n + r − 1 ) r ! = ( n + r − 1 r ) = n + r − 1 C r {\displaystyle T_{r}(n)=\prod _{k=1}^{r}\left(1+{\frac {n-1}{k}}\right)={\frac {n(n+1)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+r-1}{r}}={}_{n+r-1}{\rm {C}}_{r}} となる。 パスカルの三角形における数列は左上（または右上）にある列から順に: モナド（単数）の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …, n-1C0, … 自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, nC1, … 三角数の数列 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …, n+1C2, … 三角錐数の数列 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, …, n+2C3, … 五胞体数の数列 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, …, n+3C4, … となっている。左上（または右上）にある数列はその1つ右下（または左下）の数列の階差数列である。
※この「三角数の一般次元への拡張」の解説は、「三角数」の解説の一部です。
「三角数の一般次元への拡張」を含む「三角数」の記事については、「三角数」の概要を参照ください。
- 三角数の一般次元への拡張のページへのリンク
