三角形の面積比を使う証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 08:08 UTC 版)
「チェバの定理」の記事における「三角形の面積比を使う証明」の解説
線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する。三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、 A F F B = △ A F O △ B F O . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.} 同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、 A F F B = △ A F C △ B F C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.} この2式より、 A F F B = △ A F C − △ A F O △ B F C − △ B F O = △ A O C △ B O C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC-\triangle AFO \over \triangle BFC-\triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.} 三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、 B D D C = △ B D O △ C D O . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.} 同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、 B D D C = △ B D A △ C D A . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.} この2式より、 B D D C = △ B D A − △ B D O △ C D A − △ C D O = △ B O A △ C O A . {\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA-\triangle BDO \over \triangle CDA-\triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.} 三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、 C E E A = △ C E O △ A E O . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.} 同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、 C E E A = △ C E B △ A E B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.} この2式より、 C E E A = △ C E B − △ C E O △ A E B − △ A E O = △ C O B △ A O B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB-\triangle CEO \over \triangle AEB-\triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.} すなわち、定理の左辺は △ A O C △ B O C ⋅ △ B O A △ C O A ⋅ △ C O B △ A O B {\displaystyle {\triangle AOC \over \triangle BOC}\cdot {\triangle BOA \over \triangle COA}\cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}} であるので1に等しい。
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