三角形の面積との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 22:08 UTC 版)
「三角形の内接円と傍接円」の記事における「三角形の面積との関係」の解説
内接円と傍接円の半径は、三角形の面積に関係している。 S を三角形の面積、a, b, c を3辺の長さ、s を半周長としたとき、ヘロンの公式から、 S = 1 4 ( a + b + c ) ( a − b + c ) ( b − c + a ) ( c − a + b ) = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(b-c+a)(c-a+b)}}\\&{}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}} 一方、内接円の半径は、 2 S a + b + c = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s {\displaystyle {\frac {2S}{a+b+c}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}} 辺 a に対する傍接円の半径は、 2 S c − a + b {\displaystyle {\frac {2S}{c-a+b}}} となる。 他の2辺に対する傍接円の半径は同様に 2 S a − b + c {\displaystyle {\frac {2S}{a-b+c}}} , 2 S b − c + a {\displaystyle {\frac {2S}{b-c+a}}} となる。 これらの式から、三角形の面積は、内接円の半径と、各辺に対する傍接円の半径との積の平方根に等しいことが容易に導かれる。また、傍接円は内接円より大きいことと最も長い辺に対応する傍接円が最も大きいことが分かる。
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