三角形の内接円と傍接円
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/21 07:18 UTC 版)
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2016年5月) |
内接円（青）と内心(I)
傍接円（オレンジ）と傍心(JA,JB,JC)
内角の二等分線（赤）と外角の二等分線（緑）
初等幾何学において三角形の内接円（ないせつえん、英: incircle / inscribed circle (of a triangle)）とは、その三角形の内部にあり3辺に接する円である。三角形の内部にある円の中で最も面積が大きい円である。内接円の中心を内心（ないしん、incenter）と呼ぶ。
傍接円（ぼうせつえん、excircle）は、三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円である。傍接円の中心を傍心（ぼうしん、excenter）と呼ぶ。全ての三角形は、各辺に接する合計3つの傍接円を持つ。
内心は、3つの角の二等分線上にある。傍心は、1つの角の二等分線と他の2つの角の外角の二等分線上にある。内心と傍心は「三角形の3つの頂点と垂心」という位置関係にある。
三角形の面積との関係
内接円と傍接円の半径は、三角形の面積に関係している。
S を三角形の面積、a, b, c を3辺の長さ、s を半周長 (= (a + b + c)/2) としたとき、ヘロンの公式から、
△ABCと内接円（青）と内心（青 I）
接点と接点から作られる三角形（赤 Ta, Tb, Tc）とジェルゴンヌ点（緑）九点円とフォイエルバッハ点
内接円と傍接円は、九点円と接する。この接点をフォイエルバッハ点という。
ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形
頂点を A, B, C とし、内接円が各辺と接する点を TA, TB, TC とする（TA は A の対辺上にあるとする）。⊿TATBTC をジェルゴンヌ三角形という。接触三角形(contact triangle,intouch triangle)とも呼ばれる[1]。元の三角形の内接円はこの三角形の外接円になる。3直線 ATA, BTB, CTC は1点で交わる。この点をジェルゴンヌ点という。
ATA, BTB, CTC が1点で交わることから、⊿ABC が不等辺三角形のとき「AB と TATB の交点」「CA と TCTA の交点」「BC と TBTC の交点」は同一直線上にある。この線をジェルゴンヌ線という。⊿ABC が二等辺三角形のときは上記の辺の組のうち1つが平行になるが、残りの2点を結ぶことで直線が定義できる。⊿ABC が正三角形の場合はこの直線は定義できない。
内心の座標
座標平面における内心の座標は、3頂点の重み付き平均の値として求めることができる。
3頂点の座標を (xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)、3辺の長さを a, b, c としたとき、
三角形の内接円の半径は、『三種類の「頂点から内接円との接点までの距離」の辺を持つ直方体』と同じ体積の『同じ三角形を面に持つ柱』の高さと等しくなる。 - 内心と傍心の中点は全て外接円上にある（トリリウムの定理）。さらに、傍心同士の中点も全て外接円上にある（九点円の性質の系）。
- 3つの傍接円の半径の逆数の和は、内接円の半径の逆数に等しい（リュイリエの定理）。
- 四面体と内接・傍接球、あるいはさらに高次の単体と内接・傍接球に対しても同様の関係が成り立つ。
- 三角形の内接円の半径は、『三種類の「頂点から内接円との接点までの距離」の辺を持つ直方体』と同じ体積の『同じ三角形を面に持つ柱』の高さと等しくなる。
- 内心と外心との距離は、ナーゲル点と垂心との距離の半分である。
脚注
- ^ Weisstein, Eric W.. “Contact Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月6日閲覧。
関連項目
- ハーコートの定理 - 内接円の接線と面積に関する定理
外部リンク
- 三角形の内接円と傍接円のページへのリンク
