「九点円」の意味や使い方わかりやすく解説 Weblio辞書

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きゅうてん‐えん〔キウテンヱン〕【九点円】

読み方：きゅうてんえん

三角形の各辺の中点、三つの垂線の足、各頂点と垂心とを結ぶ線分の中点の九つの点を通る円。L＝オイラーが発見した。

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九点円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/31 23:05 UTC 版)

九点円（きゅうてんえん、英: nine-point circle）は、三角形において特定の9個の点を通る円の名称である。発見した人の名前から、オイラー円（英: Euler's circle）・フォイエルバッハ円（英: Feuerbach circle）とも呼ばれる^[1]。

脚注

注釈

^ 重心Gを中心とする拡大・縮小率－+1/2 の相似変換 $f$ により三角形ABCは三角形DEFに写され、垂心Hを中心とする拡大・縮小率 1/2 の相似変換 $g$ により三角形ABCは三角形JKLに写されるから、外接円は相似変換 $f$ および相似変換 $g$ により九点円に写されるので、九点円の半径は外接円の半径 $R$ の半分 $R$ /2 である^[3]。さらに、重心Gと垂心Hは相似の中心となり、外心を O、九点円の中心を N とすると、重心Gと垂心Hはオイラー線上で線分 ON をそれぞれ 2：1 に外分および内分するので、九点円の中心 N は外心 O と垂心 H の中点となる^[3]。
${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {OH} }}&={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OC} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}&={\frac {1}{3}}\left({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OC} }}\right)={\frac {1}{3}}{\overrightarrow {\mathrm {OH} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {ON} }}&={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OC} }}\right)={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OH} }}.\\\end{aligned}}$
^ 1990年バルト海団体数学コンテスト問8^[9]
^ 垂心Hを中心とする拡大・縮小率 1/2 の相似変換 $g$ により外接円は九点円に写されるから^[10]。
^ 三角形ABCの内心Iは三角形I_AI_BI_Cの垂心であり、三角形ABCの外接円は三角形I_AI_BI_Cの九点円となるから^[11]。

出典

^ ^a ^b Weisstein
^ ^a ^b コクセター 2009, pp. 55–56.
^ ^a ^b コクセター 2009, pp. 145–146.
^ ^a ^b Feuerbach & Buzengeiger 1822.
^ 安藤 2006, pp. 79–80.
^ 安藤 2006, pp. 81, 201–205.
^ 安藤 2006, p. 81.
^ コクセター 2009, pp. 56–57.
^ 安藤 2006, pp. 127, 129–130.
^ コクセター 2009, p. 145.
^ 安藤 2006, pp. 80–81.

[続きの解説]

「九点円」の続きの解説一覧

1 九点円とは
2 九点円の概要
3 脚注

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「九点円」の例文・使い方・用例・文例

(幾何学で)九点円という円

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