トリリウムの定理とは？わかりやすく解説

トリリウムの定理^[1] (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem）あるいは内心傍心補題（Incenter/excenter lemma）とは幾何学の定理の一つである。

定理

$△ ABC$ における内心を $I$ 、点 $A$ に対する傍心を $J$ とする。半直線 $AI$ （これは $J$ を通過する）と△ABCの外接円との交点を $P$ とする。

このとき、点 $I,B,J,C$ は点 $P$ を中心とする同一円周上にある。

半直線 $AB$ と傍接円との接点を $H$ とする。

まず $∠ BAP = ∠ CAP$ より $PB = PC$ である。

次に

∠ IBP = ∠ IBC + ∠ CBP = ∠ IBC + ∠ CAP = ∠ IBA + ∠ IAB = ∠ BIP

つまり $∠ IBP = ∠ BIP$ 。

よって $△ PBI$ は二等辺三角形であり $PB = PI$ である。

以上から $PB = PI = PC$ である。

また

∠ JBI = ∠ IBC + ∠ JBC = 1 / 2 ∠ ABC + 1 / 2 ∠ CBH = 1 / 2 (∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB) = 90°

つまり $∠ JBI = 90°$

いま直角三角形 $JBI$ において斜辺 $IJ$ 上に点 $P$ があることと $PB = PI$ が分かっている。このとき

∠ PJB = 90° - ∠ BIP = 90° - ∠ IBP = ∠ PBJ

より $△ PBJ$ は二等辺三角形であり $PB = PJ$ である。

以上から $PB = PI = PC = PJ$ である。

これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。

$I,J$ を内心、傍心の延べ4点のうちの任意の2点とする。直線 $IJ$ は三角形の頂点のいずれかを通るかつ、 $IJ$ を直径とする円は他の2頂点を通る^[2]。

^ Evan Chen『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学を巡る船旅』日本評論社、2023年、18頁。ISBN 9784535789784。
^ Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jingzhong (1994). Machine Proofs in Geometry. World Scientific. Examples 6.145 and 6.146, Template:Pgs. ISBN 9789810215842 .

Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle". mathworld.wolfram.com (英語).（内心-傍心円）