フォイエルバッハの定理とは？わかりやすく解説

幾何学において、フォイエルバッハの定理（フォイエルバッハのていり、英: Feuerbach's theorem、独: Satz von Feuerbach）は、三角形の九点円と内接円ないし傍接円とが接することを述べる定理である^[1]。1822年に定理を示したカール・フォイエルバッハの名を冠する。

平面幾何学の中で最も美しい定理の一つと評価されている^[2]。現在までに様々な証明や拡張が見つかっている。

なお、九点円と呼ばれる円の存在を単にフォイエルバッハの定理と呼ぶこともある^[3]。

主張

三角形の辺の各中点、頂点と垂心の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした垂線の足は共円である。この円を九点円という。半径は、外接円の半径の半分である。

三角形の3辺に、内接する円を内接円という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を傍接円という。

非正三角形の九点円と内接円は内接する。また九点円と傍接円は外接する^[4]。これをフォイエルバッハの定理という。内接円と九点円の接点は、フォイエルバッハ点と呼ばれる。

正三角形の九点円と内接円は一致するため^[5]、厳密にいえば、正三角形に対して内接円と九点円は接するということはない^[6]。これは、正三角形の場合は例外として排除するか^[7]、極限の場合として見る^[8]ことで解決できる^{[注釈 1]}。

証明

フォイエルバッハの定理の証明にはさまざまなものが知られ^[9]、現代でも新たな証明が発見される^[10]。フォイエルバッハの定理の証明を数学の一分野と見なす数学者がいるとも言われる^[11]。自動定理証明を用いるものも存在する^[12]。ジョン・マッケイの論文内では、マッケイ自身やE. M. ラングレーなどによる、9つの証明が紹介されている。

ケイシーの定理による証明

次の証明はケイシーの定理^[13]、特にパーサーの定理を使うものである^[14]。

$△ ABC$ について、 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $D, E, F$ 、 $BC, CA, AB$ と内接円の接点をそれぞれ $X, Y, Z$ とする。

${\overline {EF}}={\dfrac {a}{2}},\quad {\overline {FD}}={\dfrac {b}{2}},\quad {\overline {DE}}={\dfrac {c}{2}},\quad {\overline {DX}}=\left|{\dfrac {b-c}{2}}\right|,\quad {\overline {EY}}=\left|{\dfrac {c-a}{2}}\right|,\quad {\overline {YZ}}=\left|{\dfrac {a-b}{2}}\right|.$

ハートの定理

1861年、アンドルー・サール・ハートは、六円定理を九円定理に拡張するように、3辺が直線でなくともよいことを示した^[22]。ハートの定理は、ラーモアの示した定理の様に、非ユークリッド平面上の三角形の4つの外接円がある円に接するということに他ならない^[23]。

フォントネー

→詳細は「フォントネーの定理」を参照

次の定理は、1867年にグリフィス^[24]、1880年にヴェイユ^[25]、1889年にW. S. マッケイ^[26]、1905年にジョルジュ・フォントネー^[27]が示したものである^[28]。

点 $P$ とその等角共役点 $P'$ と三角形の外心が共線ならば、 $P, P'$ の垂足円は九点円に接する^[29]。

$P$ を内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。 $P, P'$ が外心と共線になるような $P$ はマッケイ三次曲線上にある。

一般に、等角共役な2点 $P, P'$ の垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれ $P, P'$ を通る直角双曲線の中心である^[30]。

ロジャース

1930年、レナード・ジェームズ・ロジャースは、Mathematical Gazette において、円錐曲線の連合準円を用いて、一般化を行った^[31]。1897年にV・ラマスワミ・エイヤールも、同様の結果を導出している^[32]。

三角形の内接円錐曲線と、その円錐曲線と焦点を共有する外心を通る円錐曲線の連合準円は九点円に接する。

内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得る^{[注釈 2]}。

荻野修作は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示している^[34]。次はその1つ目の定理である。

三角形の外心と九点円の中心をそれぞれ $O, N$ とする。焦点を $P, Q$ とする内接円錐曲線 $Γ$ について、 $∠ POQ$ における等角共役線 $l, l'$ を書く。 $Γ$ と $Γ$ に共焦点で $l, l'$ に接する円錐曲線の連合準円と、九点円の交点 $X, Y$ は $l, l'$ の直極点である。さらに、直線 $NX, NY$ の成す角は $l, l'$ の成す角の2倍の角に等しい。

$l, l'$ の成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。 $l, l'$ が $OP, OQ$ に一致すれば、1907年にプレ^[35]、1933年にフランク・モーリーが著書 Inversive Geometry で示した^[36]、フォントネーの定理の拡張になる。プレによれば、このとき $X, Y$ は、それぞれ中点三角形に内接し $OP, OQ$ を準線とする放物線の焦点である。

ロジャースの定理において円錐曲線が外心を通る場合、その準円は九点円だけでなく外接円に接触する^[37]。また、ナラヤナン（Narayanan）は、外心を通る場合のロジャースの定理について外心を任意の点に拡張している^[38]。

等角共役点 $P, P'$ 上の点 $O$ にて内接円錐曲線 $Γ$ が直線 $PP'$ に接するとき、 $P$ の垂足円、 $O$ の垂足円、 $Γ$ の準円は共軸。

ラオ

次の定理はインド数学会（英語版）の雑誌にて、M. Bhimasena Rao（ラオ）がW. S. マッケイらの垂足円への拡張から類推して^[39]、"Contact circle"と呼ばれるものに拡張したものである^[40]。

ある点 $P$ を中心とする内接円錐曲線と各辺の接点からなる三角形の外接円を $P$ の Contact circle と呼ぶ。点 $P$ とその等角共役点 $P'$ と類似重心が共線ならば、 $P$ の Contact circle は九点円と接する。

$P$ を内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。 $P, P'$ が類似重心と共線になるような $P$ はグリーブ三次曲線K102上にある^[41]。逸見伝三郎、濱田隆資らは、この定理の拡張を示している^[42]。ランガスワミは垂足円と Contact circle を統一的に扱うことを試みている^[43]。また、ラオは自身でも更なる拡張を示している^[39]。

$P$ を中心とする内接円錐曲線と各辺の交点を $D,E,F$ 、 $△ DEF$ の内心または傍心と、内接円錐曲線と基準三角形の配景の中心 $Q$ を結ぶ直線と $EF$ の交点を $G$ 、 $AG$ と基準三角形の中点三角形の $BC$ に平行な辺の交点を $V$ とすれば、 $PV$ 上にある等角共役点の Contact circle は $P$ の Contact circle と接する。

$P$ が類似重心ならば、 $Q$ が垂心となり、垂心は垂心三角形の内心であるから、元のラオの拡張となる。

ラオなど雑誌への寄稿者は、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を残している^[44]。次の定理はその一例^[45]。

点 $P$ の垂足円が九点円に接するとき $∠ PAB + ∠ PBC + ∠ PCA = 90°$ ^{[注釈 3]}。

ハミルトン

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、2つの内接円錐曲線の第四共通接線（3辺と異なる接線）と三線極線を用いて拡張を行った^[48]。

2つの内接円錐曲線 $U, V$ について、 $U$ と三角形の配景の中心を $O$ とする。 $U$ と3辺とのそれぞれの接点と、 $O$ の三線極線と $V$ の2交点（虚でもよい）を通る円錐曲線 $S$ は、 $U$ と $V$ の第四共通接線と $V$ の接点で $V$ に接する。

$U$ をシュタイナーの内接楕円、 $V$ を内接円としたとき、 $O$ は重心、 $O$ の三線極線は無限遠直線で、 $S$ は2つの虚円点を通るため円になって、フォイエルバッハの定理が導かれる。

$O$ を重心、 $V$ を放物線とすると、1939年にデ・チッコが得た定理^[49]となる。

この性質から、フォイエルバッハ点は、シュタイナーの内接楕円と内接円の第四共通接線と内接円の接点であることが分かる^[50]。

ブリカール

1907年、ラウル・ブリカールは、Nouvelles Annales de Mathématiques において、有向直線を用いた拡張を発表した^[51]。

3対の平行な同じ向きの有向直線 $(A 1, B 1), (A 2, B 2), (A 3, B 3)$ について、 $(A 1, A 2, A 3), (A 1, B 2, B 3), (B 1, A 2, B 3), (B 1, B 2, A 3)$ に接する同じ向きの有向円は、ある一つの有向円に接する。

$B 1, B 2, B 3$ の成す三角形を中点三角形にすると、フォイエルバッハの定理を得る。

2024年には、それぞれ $A 1, A 2, A 3$ の成す三角形 $T$ と $B 1, B 2, B 3$ の成す三角形が前者の三角形の重心で相似であるときの場合について Keita Miyamoto が再発見し、さらにこの場合に４つの円に接する円と $T$ の内接円との接点はフォイエルバッハ点であることを示している^[52]。

ヴォンドラチェク

1933年、ヴォンドラチェクは円錐曲線の交点を用いて一般化した^[53]。

3つの直線に接するかつ共通の2点を通る4つの円錐曲線を用意する。この4つの円錐曲線に接するかつその2点を通る円錐曲線が存在する。

濱田

1943年、東北数学雑誌において濱田隆資は根円を用いて拡張を行った^[54]。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ている^[55]。

任意の点 $P$ の垂足三角形を $△ P a P b P c$ とする。 $BC, CA, AB$ の中点を中心とし、それぞれ $P a, P b, P c$ を通る円の根円は九点円に接する。

1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点 $P, Q$ の辺に対する垂足を反転によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、 $P, Q$ と外心を結ぶ直線の直極点であることを示した^[56]。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。

プロタソフ

V. プロタソフ（Protasov）は segment theorem と称した定理の特殊な場合としてフォイエルバッハの定理を示している^[57]。

点 $O$ で交わる2直線に接する円 $Γ$ の中心を $I$ とする。今、2直線のそれぞれに点 $A, B$ を線分 $AB$ が $Γ$ に接するように作る。 $A, B$ を通る円 $Ω$ の弧 $AB$ と $OA, OB$ に接する円が2つ存在し、2円の $AO$ との接点と $I$ が直角三角形を作るように配置できる。

基準三角形 $ABC$ において、 $AB, AC$ の中点を $B', C'$ と置く。 $Γ$ を $△ AB'C'$ の内接円、 $Ω$ を九点円とすれば元の定理を演繹できる。

グエンとレ

2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示した^[58]。次の定理はその一つである。

$△ ABC$ とその垂心でないかつ辺上・外接円上にない任意の点 $P$ について、 $PB, PC$ における $A$ の直交射影を結ぶ直線を $l a$ として、 $l b, l c$ も同様に定義する。 $l a, l b, l c$ から成る三角形の外接円は、 $P$ の垂足円に接する。

グエンとレの論文の Remark 12 ではArt of Problem Solving（英語版）にて Nguyen Van Lich と Telv Cohlの示した一般化^[59]が紹介されている。

基準三角形 $ABC$ の垂心でない点 $P$ において、それぞれ $BC, CA, AB$ の中点を通る $AP, BP, CP$ の垂線の成す三角形の九点円は $P$ の垂足円に接する。

モーリー

1916年、フランク・モーリーは雑誌 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる代数曲線）への拡張を発表した^[60]。

垂心系（英語版）を成す4点を結ぶすべての直線に接する、かつ2つの虚円点を通る三級曲線は、垂心系の作る三角形の九点円に接する。三級曲線を内接円（傍接円）と垂心の和集合とすれば、フォイエルバッハの定理となる。

マルグーズー

1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、三次曲線への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていない^[61]。

三次曲線 $C$ と点 $O$ について、 $O$ を通る直線 $l$ が $C$ と3点 $P, Q, R$ で交わっているとする。今、

$({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})=0$

カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハ

ウィルキンソンの提起した問題。垂心系を成す4点からなる4つの三角形の九点円は一致する。

フォイエルバッハの定理の歴史はジョン・スタージャン・マッケイ（英語版）の九点円に関する作品に詳しい^[73]^[74]。マックス・シモン（英語版、ドイツ語版）の書籍^[75]にも、フォイエルバッハの定理の歴史や作品がまとめられている。

フォイエルバッハの定理は、1822年のドイツの数学者カール・フォイエルバッハのモノグラフ Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks の§57で初めて証明された^[76]。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を三角法を用いて計算する方法による。この発見はフォイエルバッハの名声を構成する要素の一つとなっている^[77]。1828年、ヤコブ・シュタイナーは Annales de Gergonne でフォイエルバッハの功績について知らぬまま定理について述べた^[78]。その後シュタイナーは論文 Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises の最後の脚注でフォイエルバッハにこの定理を帰した^[79]。

フォイエルバッハの論文は即座に広まらなかったため、再発見をする者も存在した^[75]。1842年、フランスの数学者オルリー・テルケムが解析的な証明でフォイエルバッハの定理を再発見した^[80]。初等幾何学的証明は、雑誌 Nouvelles Annales における1850年のJ. メンションの作品で示された^[81]。1854年に、W. H. レヴィが The Lady's and Gentleman's Diary（英語版） において、2つ目の初等的証明を示した^[82]。同年同雑誌で、 T. T. ウィルキンソンは、垂心系（英語版）を成す4つの三角形の内接円と傍接円の延べ16円が、九点円に接するという問題を投げかけた^[83]^{[注釈 4]}。これは、1855年の同雑誌で解決された^[84]。1860年頃^[75]、イギリスの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってフォイルバッハの定理が再発見された^[85]。1860年6月17日、ジョージ・サーモンは、The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べた^[86]。

" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."

1864年、ジョン・ケイシーは、Quarterly Journal で、現在ケイシーの定理と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示した^[87]。ケイシーの書籍 Sequel to Euclid にも、証明が示されている^[88]。

ハインリヒ・シュレーターは1868年にその時点で定理を拡張できるような証明方法がないことを述べた^[89]。1874年の論文ではフォイエルバッハやケイシー、バルツァー（ドイツ語版）^[90]の証明をあくまで代数的で明確さに欠けると指摘し、自身で純粋幾何学的な証明を行った^[91]^{[注釈 5]}。

1882年、ヴィルヘルム・フィードラーは円点投象法^{[注釈 6]}（Zyklographie）と呼ばれる空間的な手法によって証明を試みた^[94]。フィードラーの証明は一部不足があった。この不足は1911年にミュラー（英語版、ドイツ語版）によって修正され^[95]、更に1922年、ヤン・ソボトカ（チェコ語版）によって単純な解法が示された^[96]。

他に、C. Leudesdorf（1884）^[97]、サミュエル・ロバーツ（1887）^[98]、ヴィクトル・テボー（1910）^[99]など多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明している^[100]。

日本では、和算の時代においてフォイエルバッハの定理に到達することはできなかった^[101]。明治時代に入り、澤山勇三郎がフォイエルバッハの定理を約20通りの方法で証明した^[102]^{[注釈 7]}。

脚注

注釈

^ 参考文献の中には、「正三角形を除き」のような文言を書いていないものも少なくない。
^ 三角形の任意の内接円錐曲線の2つの焦点は等角共役の関係にある。円錐曲線とその2焦点を通る直線の連合準円は円錐曲線の補助円（Auxiliary Circle;大副円, 副円、長軸を直径とする円）となり、等角共役点を焦点とする内接円錐曲線の補助円は垂足円であることから従う。また、虚焦点が外心と共線、つまり円錐曲線の短軸上に外心が存在するときは、内接円錐曲線の小副円（Minor auxiliary circle、短軸を直径とする円）が九点円と接する^[33]。
^ 一般に、 $P$ の垂足円と九点円（の交点における接線）が成す角は $∠ PBC + ∠ PCA + ∠ PAB \pm 90°$ である^[46]。この角が一定であるとき $P$ の軌跡は種数1の6級代数曲線である^[47]。
^ $△ ABC$ の垂心を $H$ とすると、 $△ BCH$ の辺の各中点は、 $BC, BH, CH$ の各中点であるから、 $△ ABC$ と $△ BCH$ の九点円は一致する。同様に $△ CAH$ 、 $△ ABH$ の九点円も一致することが分かる。
^ 1886年、証明の誤りがLangeによって訂正されている^[92]。
^ 円点投影法とも訳される。空間の直交座標系の $xy$ 平面において、中心 $(x ,y)$ 、半径 $r$ の有向円を点 $(x , y , r)$ に対応させる手法^[93]。
^ 森本清吾による澤山の論文をまとめた書籍『澤山勇三郎全集』によれば、澤山は『東京物理学校雑誌』に発表した証明の中で、ケイシーの定理や解析幾何学を用いたものには番号を付けなかった。

出典

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参考文献

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Feuerbach's Theorem: What Is It About? - Cut The Knot
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[9] 参考文献の中には、「正三角形を除き」のような文言を書いていないものも少なくない。

[35] 三角形の任意の内接円錐曲線の2つの焦点は等角共役の関係にある。円錐曲線とその2焦点を通る直線の連合準円は円錐曲線の補助円（Auxiliary Circle;大副円, 副円、長軸を直径とする円）となり、等角共役点を焦点とする内接円錐曲線の補助円は垂足円であることから従う。また、虚焦点が外心と共線、つまり円錐曲線の短軸上に外心が存在するときは、内接円錐曲線の小副円（Minor auxiliary circle、短軸を直径とする円）が九点円と接する^[33]。

[50] 一般に、 $P$ の垂足円と九点円（の交点における接線）が成す角は $∠ PBC + ∠ PCA + ∠ PAB \pm 90°$ である^[46]。この角が一定であるとき $P$ の軌跡は種数1の6級代数曲線である^[47]。

[87] $△ ABC$ の垂心を $H$ とすると、 $△ BCH$ の辺の各中点は、 $BC, BH, CH$ の各中点であるから、 $△ ABC$ と $△ BCH$ の九点円は一致する。同様に $△ CAH$ 、 $△ ABH$ の九点円も一致することが分かる。

[97] 1886年、証明の誤りがLangeによって訂正されている^[92]。

[99] 円点投影法とも訳される。空間の直交座標系の $xy$ 平面において、中心 $(x ,y)$ 、半径 $r$ の有向円を点 $(x , y , r)$ に対応させる手法^[93]。

[109] 森本清吾による澤山の論文をまとめた書籍『澤山勇三郎全集』によれば、澤山は『東京物理学校雑誌』に発表した証明の中で、ケイシーの定理や解析幾何学を用いたものには番号を付けなかった。

[FOOTNOTESherman202144–46Davis1919-1] Sherman 2021, pp. 44–46; Davis 1919.

[FOOTNOTE小林1958SmarandachePatrascu2023-2] 小林 1958; Smarandache & Patrascu 2023.

[3] Weisstein, Eric W. “Feuerbach's theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).

[FOOTNOTEKrishna2016-4] Krishna 2016.

[FOOTNOTEAkopyanZaslavsky2009-5] Akopyan & Zaslavsky 2009.

[FOOTNOTEMorton2017-6] Morton 2017.

[FOOTNOTEGuinand1985-7] Guinand 1985.

[FOOTNOTEMackay189254-8] Mackay 1892, pp. 54.

[FOOTNOTEElder1960-10] Elder 1960.

[FOOTNOTESmarandachePatrascu2023-11] Smarandache & Patrascu 2023.

[FOOTNOTECoolidge191614-12] Coolidge 1916, p. 14.

[FOOTNOTEChou1988-13] Chou 1988.

[FOOTNOTEGonzález2011-14] González 2011.

[FOOTNOTENixon1899-15] Nixon 1899.

[FOOTNOTETaylor1875-16] Taylor 1875.

[FOOTNOTECanon1902-17] Canon 1902.

[FOOTNOTEHarvey1887-18] Harvey 1887.

[FOOTNOTEMcDowell1862Walker1867Richardson1883Ligniéres1886Lauvernay1890Sanjana1924Scheer2011Hofbauer2016Krishna2017-19] McDowell 1862; Walker 1867; Richardson 1883; Ligniéres 1886; Lauvernay 1890; Sanjana 1924; Scheer 2011; Hofbauer 2016; Krishna 2017.

[FOOTNOTEM&#039;clelland1891181-20] M'clelland 1891, p. 181.

[FOOTNOTELachlan189374Vautré1895-21] Lachlan 1893, p. 74; Vautré 1895.

[FOOTNOTEMackay189224Robinson1857-22] Mackay 1892, p. 24; Robinson 1857.

[FOOTNOTEHart1861Mackay189227Coolidge1916-23] Hart 1861; Mackay 1892, p. 27; Coolidge 1916.

[FOOTNOTEGabbatt1925b-24] Gabbatt 1925b.

[FOOTNOTEGriffiths1867-25] Griffiths 1867.

[FOOTNOTEWeill1880-26] Weill 1880.

[FOOTNOTEM&#039;Cay1889-27] M'Cay 1889.

[FOOTNOTEFontené1905Weber1906-28] Fontené 1905; Weber 1906.

[FOOTNOTEJohnson1929245-29] Johnson 1929, p. 245.

[FOOTNOTECourt1952273García-Máynez1969-30] Court 1952, p. 273; García-Máynez 1969.

[FOOTNOTENeville1944-31] Neville 1944.

[FOOTNOTERogers1930Ayyangar1930HiltonNeville1930-32] Rogers 1930; Ayyangar 1930; Hilton & Neville 1930.

[FOOTNOTEAiyar1897-33] Aiyar 1897.

[FOOTNOTEThébault1938ThébaultGoormaghtighRamler1940-34] Thébault 1938; Thébault, Goormaghtigh & Ramler 1940.

[FOOTNOTEOgino1937-36] Ogino 1937.

[FOOTNOTEPellet1907-37] Pellet 1907.

[FOOTNOTEMorleyMorley1933198-38] Morley & Morley 1933, p. 198.

[FOOTNOTE窪田194762-39] 窪田 1947, p. 62.

[FOOTNOTERangaswami1938-40] Rangaswami 1938.

[FOOTNOTERao1919-41] Rao 1919.

[FOOTNOTERao1927窪田1947139–141Henmi1950-42] Rao 1927; 窪田 1947, pp. 139–141; Henmi 1950.

[43] Gibert, Bernard. “K102”. Cubics in the Triangle Plane. 2024年12月3日閲覧。

[FOOTNOTE濱田逸見1950-44] 濱田 & 逸見 1950.

[FOOTNOTERangaswami1939b-45] Rangaswami 1939b.

[FOOTNOTEGrace1917Rao1917-46] Grace 1917; Rao 1917.

[FOOTNOTERao1918319-47] Rao 1918, p. 319.

[FOOTNOTESandham1949-48] Sandham 1949.

[FOOTNOTERao1933-49] Rao 1933.

[FOOTNOTESalmon1879313Baker1922Gibbins1935-51] Salmon 1879, p. 313; Baker 1922; Gibbins 1935.

[FOOTNOTEDe_Cicco1939-52] De Cicco 1939.

[FOOTNOTE窪田1932104-53] 窪田 1932, p. 104.

[FOOTNOTEBricard1907窪田1932104–105Kubota1941-54] Bricard 1907; 窪田 1932, pp. 104–105; Kubota 1941.

[55] Encyclopedia of Triangle Centers, X(61152) preamble.

[FOOTNOTEVondráček1933-56] Vondráček 1933.

[FOOTNOTEHamada1943-57] Hamada 1943.

[FOOTNOTETranNguyen2021-58] Tran & Nguyen 2021.

[FOOTNOTEGabbatt1925a-59] Gabbatt 1925a.

[FOOTNOTEProtasov1999-60] Protasov 1999.

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[FOOTNOTEMorley1916Richmond1919窪田1932108–110-63] Morley 1916; Richmond 1919; 窪田 1932, pp. 108–110.

[FOOTNOTEMalgouzou1919窪田1932110–111-64] Malgouzou 1919; 窪田 1932, pp. 110–111.

[FOOTNOTEGabbatt1926-65] Gabbatt 1926.

[FOOTNOTELewis1919五十嵐佐藤杉江高遠2006SrdanovAndrejaDragan2022Avksentyev2023-66] Lewis 1919; 五十嵐 et al. 2006; Srdanov, Andreja & Dragan 2022; Avksentyev 2023.

[FOOTNOTEAkopyan2009-67] Akopyan 2009.

[FOOTNOTECao2024-68] Cao 2024.

[FOOTNOTEMinevichMorton2015Beltrami1875-69] Minevich & Morton 2015; Beltrami 1875.

[FOOTNOTEBeareWildberger2020-70] Beare & Wildberger 2020.

[FOOTNOTE遠山1991412-71] 遠山 1991, p. 412.

[FOOTNOTEDergiadesTran2018-72] Dergiades & Tran 2018.

[FOOTNOTEBradley2005-73] Bradley 2005.

[FOOTNOTEEmelyanov2001Yiu2005-74] Emelyanov 2001; Yiu 2005.

[FOOTNOTETran2017-75] Tran 2017.

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[FOOTNOTETerquem1842-83] Terquem 1842.

[FOOTNOTEMention1850-84] Mention 1850.

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[FOOTNOTECasey1861-89] Casey 1861.

[FOOTNOTESalmon1861-90] Salmon 1861.

[FOOTNOTECasey1864-91] Casey 1864.

[FOOTNOTECasey1886105–106-92] Casey 1886, pp. 105–106.

[FOOTNOTESchröter1868Lappe1870-93] Schröter 1868; Lappe 1870.

[FOOTNOTEBaltzer1870-94] Baltzer 1870.

[FOOTNOTESchröter1874-95] Schröter 1874.

[FOOTNOTELange1886-96] Lange 1886.

[FOOTNOTE窪田1947110-98] 窪田 1947, p. 110.

[FOOTNOTEFiedler1882-100] Fiedler 1882.

[FOOTNOTEMüller1911-101] Müller 1911.

[FOOTNOTESobotka1922-102] Sobotka 1922.

[FOOTNOTELeudesdorf1884-103] Leudesdorf 1884.

[FOOTNOTERoberts1887-104] Roberts 1887.

[FOOTNOTEThébault1910-105] Thébault 1910.

[FOOTNOTEGoormaghtigh1926101-106] Goormaghtigh 1926, p. 101.

[FOOTNOTE岩田1969-107] 岩田 1969.

[FOOTNOTE森本1938109–167澤山1904-108] 森本 1938, pp. 109–167; 澤山 1904.

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フォイエルバッハの定理とは？わかりやすく解説