アポロニウス点とは? わかりやすく解説

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アポロニウス点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/11/25 14:50 UTC 版)

ユークリッド幾何学において、 アポロニウス点(アポロニウスてん、:Apollonius point)はクラーク・キンバリングの Encyclopedia of Triangle CentersX(181)として登録されている三角形の心である[1]。 3つの傍接円に外接する円と、傍接円の接点の成す三角形と元の三角形の配景として定義される[2]

文献によっては等力点に対してアポロニウス点の名を使用する場合もある[3]。これは、等力点の性質にアポロニウスの円が関係することに由来する。

アポロニウスの問題の解は何世紀も前から知られていたが、1987年に初めて、アポロニウス点の指摘がなされた[4][5]

定義

  ABCの辺の延長
  傍接円EA, EB, EC
  ABCのアポロニウス円
  AA', BB', CC'の交点アポロニウス点

アポロニウス点の定義は以下のとおりである。

ABC について、A, B, Cの傍接円をそれぞれEA, EB, ECとする。また、EEA, EB, EC に内接する円として定義する。EEA, EB, ECの接点をそれぞれA', B', C' として
AA', BB', CC'共点である。この点をABCのアポロニウス点という。

アポロニウスの問題とは、3円に接する円の構成に関する問題である。一般的に、3つの円に接する円は最大8つ存在する。3つの傍接円の場合は、九点円や三角形の3辺が解の一つとなる。Encyclopedia of Triangle Centersの中でEアポロニウス円(Apollonius circle)と呼ばれている。

アポロニウス円の半径は

△ABC(茶)、傍心JA,JB,JC)、傍接円と辺の接点(赤)、シュピーカー中心X10)、ジェンキンス円(青)、対応するジェンキンス円と傍接円の接点(Ka,Kb,Kc)、AKa,BKb,CKcの交点(X3956)、ジェンキンス円の中心と頂点を結ぶ直線の交点(X3957

3つの傍接円におけるアポロニウスの問題の解は、アポロニウス円、九点円、3辺の他に3つのジェンキンス円(Jenkins circles)が知られている。

ABCについて、A,B,C傍接円とBC,CA,ABとの接点をD,E,Fとする。また、シュピーカー中心X10とそれぞれD,E,Fを通る直線と、A,B,C傍接円の、D,E,Fでない方の交点をKa,Kb,Kcとする。AKa,BKb,CKcは一点で交わる。この点を第一オデーナル点(1st Odehnal point)という(Odehnalはオデフナルとも)。それぞれKa,Kb,KcA,B,C傍接円に内接し、他の2つの傍接円に外接する円はシュピーカー中心を通る。これらの円をジェンキンス円と言う[8]。また、ジェンキンス円の中心とA,B,Cを結んだ線は共点である。この点を第二オデーナル点(2nd Odehnal point)という。

オデーナル点はEncyclopedia of Triangle CentersにおいてそれぞれX3956, X3957として登録されている三角形の中心である[2][9][10]。ボリス・オデーナル(Boris Odehnal)によって発見された[11]

性質

  • Ka,Kb,Kcのなす三角形はJenkins-contact triangleと呼ばれる[12]
  • ジェンキンス円の中心が成す三角形は1st Jenkins triangleと呼ばれる。

第一オデーナル点の性質




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