アポロニウスの定理

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アポロニウスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/18 09:54 UTC 版)

green/blue areas = red area

Pythagoras as a special case:
green area = red area

幾何学におけるアポロニウスの定理（アポロニウスのていり）は、三角形の中線の長さと辺の長さに関係する定理である。「三角形の任意の二辺の平方和は第三辺の半分の平方の2倍と第三辺を二分する中線の2倍の和に等しい」という。

すなわち、任意の三角形を${\displaystyle ABC}$

アポロニウスの定理の証明

スチュワートの定理の特殊な場合として、あるいはベクトルを用いて証明することができる。以下の証明は余弦定理を用いたものである^[1]。

任意の三角形の三辺の長さを${\displaystyle a,b,c}$として、${\displaystyle a}$の中線の長さを${\displaystyle d}$とする。また、中線に二分された線分の長さを${\displaystyle m}$とする（${\displaystyle m}$は${\displaystyle a}$の半分）。

さらに、${\displaystyle a}$と${\displaystyle d}$による角の大きさを${\displaystyle \theta }$と${\displaystyle \theta ^{\prime }}$とし、${\displaystyle \theta }$は${\displaystyle b}$の対角、${\displaystyle \theta ^{\prime }}$は${\displaystyle c}$の対角とする。すなわち、${\displaystyle \theta ^{\prime }}$は${\displaystyle \theta }$の補角であり、 ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta }$となる。

このとき、余弦定理より、

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}}$$

第一式と第三式の辺々を加えると

$${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$

以上より、定理が証明された。

脚注

1. ^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20. https://archive.org/details/bub_gb_LGsLAAAAYAAJ 

外部リンク

• Three Proofs of Apollonius Theorem by HC Rajpoot from Academia.edu

• Apollonius Theorem - PlanetMath.（英語）
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. p. 27