ナーゲル点

ウィキペディア

ナーゲル点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/03 06:07 UTC 版)

三角形（黒）とナーゲル点（N で示された青い点）橙色の円は傍接円。

ナーゲル点 N を通るフールマン円。垂心 H と当該円の直径を構成する。

幾何学におけるナーゲル点（ナーゲルてん、Nagel Point）は、任意の三角形に対し一意的に決定される点の名称である。

三角形 ABC において、BC と傍接円の接点を T_A とする。同様に T_B, T_C を定義したとき、AT_A, BT_B, CT_C の3直線が交わる点がナーゲル点である。名称は1836年にこの点について言及したドイツのクリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルに由来している。

A と T_A は三角形の周を等分する。このことからナーゲル点は "bisected perimeter point" とも呼ばれる。同じ理由から AT_A などを中界線と呼ぶ。

他の点との関係

ナーゲル点は重心・内心と同一直線上にある。この線をナーゲル線と呼ぶ。三角形の内心は中点三角形のナーゲル点となる。

ジェルゴンヌ点と等長共役の関係にある。

座標

1913年にゲラトゥリはナーゲル点の三線座標が以下の式で表されることを示した。

$\csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)$