三角形の中心
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三角形の中心（さんかくけいのちゅうしん、英: triangle center）とは、任意の三角形から一意的に求めることができる点の総称である[1]。他に芯、心などとも[2]。
例
以下のような例がある（他にもいろいろある）。
- 3本の線の交点
- 3頂点または3辺に対し指定された方法で引かれた3本の直線が1点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すためにチェバの定理がよく利用される。
- 例
- エクセター点や安島-マルファッティ点のように、線分の作図に複数のステップを踏むものもある。
- 円の中心
- 特定の円の中心に当たる点。
- 例
- 既存の点や線から導かれるもの
- 計量を最小にする点、特定の2点の中点、特定の線と円の交点など。
- 例
上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。
歴史
内心・外心・重心・垂心・傍心（五心）などは古くから知られており、ユークリッドの「原論」にも記述が見られる。
他の点の多くは、1678年のチェバの定理より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心にジェルゴンヌ点などがある。
モーレーの定理の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点にはブロカール点・ド・ロンシャン点などがある。
その後も新しい心が提示されており、エヴァンズビル大学内のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」には2024年現在62000以上の心が登録されている。
名称
心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。ナポレオン点のナポレオン・ボナパルトやソディ点のフレデリック・ソディのように、数学者以外の名前がつく例もある。
安島-マルファッティ点のように、日本人の名前が入っているものもある。
三線座標と重心座標
平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。
三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから hA・辺CAから hB・辺ABから hC だけ離れているとき、Pの三線座標を (hA, hB, hC) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。
例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (r, r, r) である。ここで r は内接円の半径である。
重心座標系は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (gA, gB, gC) のとき、
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三角形の中心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/08 21:20 UTC 版)
「ジャイロベクトル空間」の記事における「三角形の中心」の解説
三角形の中心は伝統的にはユークリッド幾何学において考慮される概念であるが、双曲幾何学においても研究の対象となりうる。 gyrotrigonometryを用いると、重心座標系をユークリッド幾何学と双曲幾何学に共通の表現で表すことができる。 表現が一致するためには、 三角形の角の和が180度になるという法則を表現が含まない必要がある。
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